Problème proposé par Raymond Bloch
On considère un échiquier rectangulaire ABCD de dimensions AB = 20 et BC = 12 dont les cases sont des carrés unité. Un pion se déplace d'une case à l'autre à la condition que les deux centres des deux cases soient distants de √N avec N entier ≥ 2.
L'objectif est d'acheminer le pion de la case ayant pour sommet A à la case ayant pour sommet B.
Pour quelles valeurs de N de 2 à 10 est-ce possible?
Les seules valeurs de N possibles sont les carrés ou sommes de deux carrés, soit 2, 4, 5, 8, 9, 10.
Si l’on affecte à chaque case la somme de son abscisse et de son ordonnée modulo 2 (coloriage habituel), on reste sur des cases de même valeur pour N= 2, 4, 8 et 10 ; or les cases de sommet A et B n’ont pas la même valeur. De même avec les sommes modulo 3, on reste sur des cases de même valeur pour N=9.
Reste la valeur 5 ( soit le déplacement du cavalier aux échecs ) qui convient (seule une bande de 3 cases de largeur est utilisée) :
1 3
4 6 8 10
A 2 5 7 9 B
