Enonc´e noG261 (Diophante) M´eli-m´elo de droites et de coniques
Je trace dans le plan un certain nombre de cercles puis un mˆeme nombre d’ellipses et de lignes droites. Toutes ces figures donnent un maximum de 2011 points d’intersection. D´enombrer les cercles et les ellipses.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
S’il y ac cercles, ddroites,eellipses, il y a 1 point d’intersection par paire de droites, jusqu’`a 2 points par paire de cercles, par couple droite-cercle et par couple droite-ellipse, et jusqu’`a 4 points par couple cercle-ellipse et paire d’ellipses, soit au maximum
Cd2+ 2Cc2+ 2dc+ 2de+ 4ce+ 4Ce2.
Commed =e, cette expression vaut c2−c+ 6ec+ (9e2−5e)/2 qu’il faut
´egaler `a 2011.
On en tire (2c+ 6e−1)2= 8045−2e+ 18e2.
Modulo 8, le premier membre a 1 pour reste, ce qui exige que eait 2 ou 3 pour reste modulo 4.
Modulo 9, le premier membre a 0, 1, 4 ou 7 pour reste, ce qui exige que e ait 2, 4, 5 ou 8 pour reste modulo 9.
Alors le reste de e modulo 36 est 2, 11, 14, 22, 23, 26, 31 ou 35. Mais par ailleurs (9e2−5e)/2≤2011, d’o`u e <22.
Pour e= 2, 11, et 14, l’expression 8045−2e+ 18e2 prend les valeurs 8113, 10201 = 1012 (seul carr´e), et 11145.
Donce= 11 =d, 2c+ 6e−1 = 101 et c= 18.
Il y a 18 cercles, 11 droites et 11 ellipses.
Les 2011 intersections peuvent ˆetre r´ealis´ees avec 11 ellipses de mˆeme centre O, obtenues `a partir de l’une d’elles par rotation de 2kπ/11, 11 droites grands axes de ces ellipses, et 18 cercles centr´es hors de O mais ayant O `a leur int´erieur, obtenus `a partir de l’un d’eux par rotation dekπ/9, en sorte que deux quelconques se coupent. SoitABun diam`etre de cercle passant par O, on assure que chaque couple cercle-ellipse donne 4 points d’intersection en choisissant OA et OB entre le demi-petit axe et le demi-grand axe des ellipses.
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