Désignons par F, M et G les points de contact du demi-cercle avec les côtés. L'angle DIA est la moitié de l'angle GIF, lui- même supplémentaire de CIG + FIB. Donc DIA = GCI = IBF, et les triangles DCI, DIA et IBA sont semblables.
Dans le cercle circonscrit à ADI, les angles inscrits ADI et AIB sont égaux, si bien BC est la tangente au point I. Il s'ensuit que le cercle est centré sur la médiatrice IE de BC et que ses intersections avec les segments BE et CE sont symétriques par rapport à IE.
Il reste à considérer la puissance de C par rapport au cercle qui vaut donc CI 2 mais aussi CD.BA …
Finalement :
BC 2 = 4 AB.CD .
