Détermine la valeur exacte de chaque expression. 2. 6. 8. Détermine la valeur exacte de chaque expression. Tu dois choisir des valeurs de <A et de <B et

(1)

Détermine la valeur exacte de chaque expression.

2. sin 65 cos 35ô ô cos 65 sin 35ô ô



^o ^o



^o

sin 65 35  sin90  1

6. cos7 cos sin7 sin

12 3 12 3

  _  

7 2

cos cos

12 3 4 2

  

 

  

 

 

8. cos 10 cos 35



 ^o



^o  sin 10 sin 35



 ^o



^o



^o ^o

 

^o



²

cos 10 35 cos 45

     2

Détermine la valeur exacte de chaque expression. Tu dois choisir des valeurs de <A et de <B et appliquer une identité d’addition ou de soustraction appropriée.

10. tan 15^o

 

o o

tan 60 45 tan 60 tan 45 1 tan 60 tan 45

3 1 1 3

1 1 3 1 3

3 3 1 3

1 3 3 3

4 2 3 2 3

2

   

 



 

 

 

  

   

    

 13. tan 105

 

tan 45 60

1 3 1 3

1 1 3 1 3

1 3 3 3

4 2 3 2 3

2

   

 

 

 

  

   

    



(2)

Récris chaque expression sous la forme d’une fonction trigonométrique simple.

17. 2 sin cos

6 6

 

sin 2 sin

6 3

 

   

     

   

19. cos2 sin2

3 3

 _ 

cos cos 2

3 3 3

  

 

    

 

Utilise les identités d’addition et de soustraction pour prouver chaque identité.

25. ^{sin 90}



^{ } ^A



^ ^{cos A}

sin 90 cos A cos90 sin A cos A 1 cos A 0 sin A cos A

cos A cos A

   

 



27. cos



90A



sinA

cos90 cos A sin 90 sin A sin A 0 cos A 1 sin A sin A

sin A sin A

   

 

 29. ^sin



^ ^ ^A



^{ }^{sin A}

sin cos A cos sin A

 

sin A 0 cos A 1 sin A sin A

sin A sin A

    

   

  

31. sin A cos A 2

 

 

 

 

sin cos A cos sin A cos A

2 2

1 cos A 0 sin A cos A cos A cos A

 _  _

 



38. Évalue ^{tan A B}



^



, sachant que tan A 4

 3 ,cos B 12

 13 et que les deux angles se trouvent dans le quadrant I.

2 2 2

r x y

r 9 16

r 25

r 5 r est toujours

 



  

sin A 4 53 cos A

54 tan A

3



2 2 2

2 2

r x y

169 144 y 25 y

y 5 quadrant I y 5

 



  

sin B 5

1312 cos B

135 tan B

12



 

tan A B

4 5 11

tan A tan B 3 12 12 11 9 33

1 tan A tan B 1 4 5 14 12 14 56

3 12 9

 

     

  

(3)

43. Prouve chaque équation algébriquement. Ensuite, compare les graphiques des fonctions définies par le membre de gauche et le membre de droite de l’équation. Note : les deux fonctions que tu as représentées graphiquement et dessine le graphique obtenu.

a) 1 cos 2x cot anx sin 2x

 

 

2 2

2

1 cos x x

cot anx sin x x

1 cos x cos x sin x sin x cot anx sin x cos x cos x sin x

1 cos x sin x cot anx 2 sin x cos x

1 sin x cos x cot anx 2 sin x cos x

cos x cos x cot anx 2 sin x cos x

2 cos x cot anx 2 sin x cos x

cos x cot anx sin x

cot anx cot anx

 

 

  

  



  

 



b) sec x² 2 1 cos 2x

 

 

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

sec x 2

1 cos x x sec x 2

1 cos x cos x sin x sin x sec x 2

1 cos x sin x sec x 2

1 sin x cos x sec x 2

cos x cos x sec x 2

2 cos x sec x sec x

  

  

  

 



(4)

Pré-calcul p. 306

1. Réécris chaque expression sous la forme d’un seul rapport trigonométrique.

e) 4 2 sin cos 4 sin 4 sin 2 4

3 3

8 sin os c 3

3 3

  ^   ^ ^  ^ 

    

   

   



2. Simplifie chaque expression et donne sa valeur exacte.

c) ² ² cos cos 1

co 6 6 si 2

s n 3

6 6

  

  ^ ^

  

 

 

 

4. Réécris chaque expression sous la forme d’un seul rapport trigonométrique.

d) _{2 cos}² ₁

6

 _

2 2 2

2 2

2 cos sin cos

6 6 6

2 cos sin cos

6 6 6

cos sin

6 6

cos cos

6 6 3

  

 

  

 

    

 

  

 

 

    

 

e) 1 2 cos² 12

 

2 2 2

2 2

sin cos 2 cos

12 12 12

sin cos

12 12

cos sin

12 12

cos cos

12 12 6

  

 

  

  

 

 

   

 

 

      

 

5. Simplifie chaque expression pour obtenir un seul rapport trigonométrique de base.

a) sin 2x 2 cos x

2 sin x cos x sin x 2 cos x

 

b)

   

 

2 2

2 2 2

2 2

cos x sin x cos x 2 sin x cos x sin x cos x cos x si

cos 2x

n x 2 sin x cos x cos x sin x

1

cos x sin 2x sin x   

  

 





(5)

c) ² ² ² ²

2

cos x sin x sin x cos x 2 cos x

2 cos x cos x 2 cos x

cos 2x 1 2 cos x

   



 

d) ²

2 2 2

2

cos x cos x sin x sin cos x

cos x 1 x cos x cos 2x sin x 

 

 



8. Détermine la valeur exacte de chaque expression trigonométrique.

a) ^o ^{cos 30}



^o ⁴⁵^o



cos 30 cos 45ô ô sin 30 sin 45ô ô

3 2 1 2 6 2

2 cos75

2 2 2 4 4

   

      

     

           

b)

   

 

   

 

o o o

o o

o

o o

o

tan 60 60 tan 45 tan 60 60 45

1 tan 60 60 tan 45

3 3

tan 60 tan 60 1 1

1 3 3

1 tan 60 tan 60

tan 60 tan 60 3 3

1 1 tan 60 tan 60 1 1 1 3 1

ta

3

2 3 1 2 3 1

2 1 3

2 3 2

n 16

1 2

5

1 1 3 1 3

 

   

 

   

 

  

     

        



 

  

   

   

 

    

   

3 1

1 3

 

 



c) ^{s in 105}^o ^{sin 60}



^o ⁴⁵^o



sin 60 cos 45ô ô cos 60 sin 45ô ô

3 2 1 2 6 2

2 sin7

12

2 2 2 2 2

 _ _ _ _ _

     

(6)

11. L’angle  se termine dans le quadrant II et sin 5

  13 . Détermine la valeur exacte de chaque expression.

2 2 2

2 2

13 x 5

169 25 x 144 x

x 12

 

 



 

cos 12

  ^13

a) cos 2

2 2

2 2 12 5 144 25 119

cos sin

13 13 169 169 169

    ^^ ^ ^ ^   

   

15. Montre que chaque expression peut se réduire à cos2x.

a) cos x sin x⁴  ⁴



cos x sin x cos x sin x²  ²



²  ²

 

 1 cos x sin x²  ²



 cos 2x b) cos ec x 2² ₂

cos ec x



2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

1 2 1 2 sin x sin x sin x

1 sin x 1

sin x

sin x cos x 2 sin x cos x sin x cos 2x

 

  

  

  

16. Simplifie chaque expression pour obtenir l’expression équivalente indiquée.

a) 1 cos 2x sin x² 2

 



² ²



₂

2 2

2

2 2

2

2 2

1 cos x sin x

sin x 1 cos x sin x2 sin x

sin x sin x2 sin x 2 sin x2 sin x

sin x2 sin x

 



  

 



(7)

b)

4 8 sin x2 4 2 sin x cos x tan 2x

 

 

2

2 2 2

2 2

4 1 2 sin x 4 2 sin x cos x tan 2x 4 sin x cos x 2 sin x 4

sin 2x tan 2x

4 cos x sin x 4 sin 2x tan 2x 4 cos 2x 4

sin 2x tan 2x 4 cot an2x 4

tan 2x

4 4

tan 2x tan 2x

 

 



 



19. a) Détermine la ou les valeurs de sin si cos 3 et 0 2

6 5

    

 

   

 

 

2 2 2

2 2

5 3 y

25 9 y 16 y

y 4

 

 



 

sin 4 ou sin 4

5 5

  ^  

sin sin cos cos sin

6 6 6

4 3 3 1

5 2 5 2

4 3 3 10

  

  

 

  

 

 

 

      

          

 



sin sin cos cos sin

6 6 6

4 3 3 1

5 2 5 2

4 3 3 10

  

  

 

  

 

 

 

     

 

           

 

(8)

20. Si <A et <B se situent dans le quadrant 1 et que sin A 4 et cos B 12

5 13

    , quelle

est la valeur de chaque expression?

2 2 2

2 2

5 x 4

25 16 x 9 x

x 3

 

 



 

sin A 4 53 cos A

5



2 2 2

2 2

13 12 y

169 144 y 25 y

y 5

 

 



 

sin B 5

1312 cos B

13



b) ^sin



^{  }^A ^B



 

sin A B sin A cos B cos A sin B

4 12 3 5 48 15 63

5 13 5 13 65 65 65

  

      

c) cos 2 A

2 2

cos 2A cos A sin A

3 4 9 16 7

5 5 25 25 25

 

    

       

    p. 314

7. Démontre chaque identité.

a) cos ec x

cos ec 2x 2 cos x 

cos ecx 1 2 cos x sin 2x

1 2 sin x cos x cos ecx 2 cos x



b) sin x cos x cot an x cos ec x 

2 2

sin x cos x cot an x cos ec x cos x

sin x cos x

sin x sin x cos x

sin x 1 sin x cos ecx

 

  

 



10. Vérifie graphiquement si chaque équation est une identité, puis démontre l’identité.

b) sin x cos x 1 cos x 1 cos x tan x

 



(9)

 



²



2

sin x cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x tan x sin x cos x 1 cos x 1 cos x

tan x 1 cos x

sin x cos x 1 cos x 1 cos x tan x sin x

1 cos x 1 cos x tan x tan x

 

 

 

  

  



 

 11. Démontre chaque identité.

a) sin 2x cos 2x cos ec x cos x  sin x 

2 2

2 2 2

2 2

2 sin x cos x cos x sin x cos ecx

cos x sin x

2 sin x cos ecx

sin x

2 sin x cos x sin x cos ecx sin x

sin x cos x cos ecx sin x

1 cos ecx sin x

cos ecx cos ecx

  

 



b) cos ec x sec x cos ec x sec x²  ²  ² ²

2 2

2 2 2 2

1 1 cos ec x sec x sin x cos x

cos x sin x cos ec x sec x sin x cos x

1 cos ec x sec x sin x cos x

cos ec x sec x cos ec x sec x

 



c) cot anx 1 cos ecx 1 tan x sec x

 



cos x 1sin x cos ecx sin x sec x 1 cos x

cos x sin x

cos ecx sin x

cos x sin x sec x cos x

cos x sin x cos x cos ecx sin x cos x sin x sec x

cos ecx cos ecx sec x sec x







 

  





(10)

12. Démontre chaque identité.

a) ^{sin 90}



^o ^^



^ ^{sin 90}



^o ^^



o o o o

sin 90 cos cos90 sin sin 90 cos cos90 sin 1 cos 0 sin 1 cos 0 sin

cos cos

   

 

  



b) ^{sin 2}



^{ }^



^{ }^sin^

sin 2 cos cos 2 sin sin 0 cos 1 sin sin sin sin

    

  

 

  

13. Démontre que 2 cos x cos y cos x y







 cos x y







2 cos x cos y cos x cos y sin x sin y cos x cos y sin x sin y 2 cos x cos y 2 cos x cos y

   



16. à l’aide des identités de l’angle double démontre l’identité tan x sin 4x sin 2x cos 4x cos 2x

 



 

  

2 2

2

2 sin 2x cos 2x sin 2x tan x

cos 2x sin 2x cos 2x sin 2x 2 cos 2x 1 tan x

cos 2x cos 2x 1 cos 2x sin 2x 2 cos 2x 1

tan x

cos 2x cos 2x 1 cos 2x sin 2x 2 cos 2x 1

tan x

2 cos 2x cos 2x 1 sin 2x 2 cos 2x 1 tan x

2 cos 2x 2 2 cos 2x 1 / 2 sin 2x

tan x co

 

 

 

  

 

  

 

 

 

 



2 2 2 2

2

s 2x 1

2 sin x cos x tan x

cos x sin x cos x sin x 2 sin x cos x

tan x

2 cos x tan x tan x



   

