Enoncé D281 (Diophante) L’alignement du pentagone
On considère un pentagoneABCDE pas nécessairement convexe inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et un point quelconque P du plan distinct de O et des sommets du pentagone. Démontrer que les points d’intersection des tangentes en A, B, C, D et E au cercle (Γ) avec les médiatrices des segments P A, P B, P C, P D et P E sont alignés.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Axes xOy avec Ox selon OP, d’où les coordonnées P(p,0). Je prends le rayon de (Γ) comme unité de longueur, d’où l’équation de ce cerclex2+y2 = 1..
Soit a= (Ox, OA), d’où les coordonnéesA(cosa,sina) et l’équa- tion de la tangente enA :xcosa+ysina= 1.
La médiatrice deP A a pour équation
(x−p)2+y2 = (x−cosa)2+(y−sina)2, soit, retrabchantx2+y2−1 des deux membres
p2−2px+ 1 = 2−2(xcosa+ysina),
et si (x, y) sont les coordonnées de l’intersection QA de la média- trice et de la tangente,
p2−2px+ 1 = 0, x= (p2+ 1)/2p.
ydépend dea, mais nonx, qui est aussi l’abscisse deQB, QC, QD, QE. x étant la moyenne de p et 1/p, la droite lieu des points Q est à mi-distance de P et de sa polaire par rapport à (Γ), qui a pour équation x= 1/p.
1
![̂ = 72° et que [CM] est le côté d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle (](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)