Pour cela montrons que la droite d'alignement cherchée est l'homothétique de la polaire de P par rapport à (O) par l'homothétie de centre P et de rapport 1/2

D281 – L’alignement du Pentagone [*** à la main]

On considère un pentagone ABCDE pas nécessairement convexe inscrit dans un cercle (O) et un point quelconque P du plan distinct des sommets du pentagone. Démontrer que les points d’intersection des tangentes en A,B,C,D et E au cercle Γ avec les médiatrices des segments PA,PB,PC,PD et PE sont alignés.

Solution proposée par Dominique Roux

Le pentagone peut être remplacé par un polygone quelconque inscrit dans le cercle (O) de centre O.

Il suffit de prouver la propriété dans le cas d'un triangle.

Pour cela montrons que la droite d'alignement cherchée est l'homothétique de la polaire de P par rapport à (O) par l'homothétie de centre P et de rapport 1/2.

Soit H le pied de cette polaire sur la droite OP et soit A un point quelconque du cercle (O).

La puissance de O par rapport au cercle (AHP) vaut OH.OP ce qui est égal à OA.OA en raison de la division harmonique sur OP, égalité qui prouve que le cercle (AHP) est orthogonal au cercle (O). Par suite son centre A', qui est l'intersection des médiatrices de AP et de HP se trouve sur la tangente en A à (O). D'où le résultat en remarquant que la médiatrice de HP passe par le milieu de [HP] et est parallèle à la polaire de P par rapport au cercle (O).