D1978 deux solutions sinon rien
D’un point P extérieur à un cercle (Γ) de centre O, on mène la droite PO qui rencontre (Γ) en deux points A et B puis une tangente à (Γ) qui touche ce cercle au point T. Les parallèles issues de A et de B à PT rencontrent respectivement la perpendiculaire issue de T à la droite PO aux points I et J.
Démontrer de deux manières différentes au moins que les droites BI et AJ se rencontrent au milieu M de PT.
a) La droite TIJ est la polaire de P par rapport à (Γ). Le faisceau de droites IA, IB, IT, IP est harmonique, sur la droite PT (parallèle à IA), il détermine 4 points en division harmonique :
∞, M, T, P , donc IB coupe le segment PT en son milieu M.
De même le faisceau JA, JB, JT, JP est harmonique et JA coupe le segment PT en son milieu.
Les droites BI et AJ se rencontrent au milieu M de PT.
b) autre solution : Soit H le pied de la polaire de P.
TA et TB sont les bissectrices de PTH.
Dans le triangle PTH on pose PT=h, TH=p, HP=t.
Les coordonnées barycentriques relativement au repère PTH, donnent : B(p, 0, h) et A(p, 0, -h).
Toute parallèle à la droite PT a une équation de la forme z + k(x+y+z) = 0. On choisit k pour qu'elle passe par A : -h + k(p-h) = 0 , k= h/(p-h), droite AI : z(p-h) + h(x+y+z) = 0 soit pz + h(x+y) = 0 La droite HT est définie par x=0, et le point I par (0, p, -h).
La droite BI joint les points (0, p, -h) et (p, 0, h) , son équation est : h(y-x) + pz = 0
Elle coupe la droite TP d'équation z=0 au point (1, 1, 0) c'est à dire au milieu M du segment PT.
On choisit k pour que la droite z + k(x+y+z) = 0 passe par B(p, 0, h) : h + k(p+h) = 0
k = -h/(p+h) : droite BJ : z(p+h) – h(x+y+z) = 0 soit pz – h(x+y) = 0 . Sur cette droite, le point J a pour coordonnées (0, p, h).
La droite AJ joint les points (p, 0, -h) et (0, p, h) , son équation est : h(y-x) – pz = 0
Elle coupe la droite TP d'équation z=0 au point (1, 1, 0) c'est à dire au milieu M du segment PT.
Donc les droites BI et AJ se rencontrent au milieu M de PT.
