D 281 L'alignement du pentagone.
On considère un pentagone ABCDE pas nécessairement convexe inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et un point quelconque P du plan distinct de O et des sommets du pentagone. Démontrer que les points d’intersection des tangentes en A,B,C,D et E au cercle (Γ) avec les médiatrices des segments PA,PB,PC,PD et PE sont alignés.
Soit A un point variable sur (Γ) , avec POA non alignés. Le point M de la tangente en A qui vérifie MP = MA a même puissance par rapport au cercle (Γ) et au cercle point P, M est donc sur l'axe radical Δ de ces deux cercles .
Les trois petites figures ci-dessus montrent cet axe radical Δ1, Δ2, ou Δ3 suivant que le point P est en P1 extérieur à (Γ), P2 intérieur à (Γ), ou en P3sur(Γ).
Dans les deux premiers cas, les cercles de centre M passant par A et P appartiennent à un faisceau linéaire dont P est l'un des deux points de base, et Δ est extérieur à (Γ), et dans le troisième cas Δ est la tangente en P à (Γ).
Pour 5 points A, B, C, D, E de (Γ), les points d’intersection des tangentes en A,B,C,D et E au cercle (Γ) avec les médiatrices des segments PA,PB,PC,PD et PE sont alignés sur cette droite Δ .
Cet alignement persiste si on remplace le pentagone ABCDE par un 'n-gone' (n≥3) inscrit dans un cercle (Γ) .
