D281. L'alignement du Pentagone

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D281. L'alignement du Pentagone

On considère un pentagone ABCDE pas nécessairement convexe inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et un point quelconque P du plan distinct de O et des sommets du pentagone. Démontrer que les points d’intersection des tangentes en A,B,C,D et E au cercle (Γ) avec les médiatrices des segments PA,PB,PC,PD et PE sont alignés.

Solution proposée par Jean Nicot

Prenons l’origine en O, avec R rayon du cercle (Γ), P sur l’ axe Ox avec OP = a.

Notons A un point du cercle et l’angle POA = α, M le milieu de AP.

La tangente en A à (Γ) coupe la médiatrice de AP en K L’équation de AK est : Y sin α + X cos α = R

M a pour coordonnées : {(a + R cos α)/2 ; R sin α /2}

AP a pour pente –R sin α /(a – R cos α) L’équation de KM est donc

(y – R sin α /2)=(x- (R cos α +a)/2)* (a - R cos α)/ (R sin α)

Eliminant y entre les équations de MK et AK, on obtient l’abscisse de K soit x= OH = (a²+R²)/ 2a qui ne dépend pas de α.

Tous les points d’intersection sont donc alignés sur KH. C’est la

perpendiculaire à OP, à la distance (a²+R²)/ 2a de O et du même côté que P par rapport à O.