D289-L'inconnue du Pentagone
Vous prenez une règle et un compas pour tracer un pentagone régulier ABCDE (vous vérifierez que c'est possible!).
Soit un point M sur l'arc DE du cercle circonscrit à ce pentagone.
Vous disposez des distances arrondies au mètre le plus proche des quatre cordes : MA = 1830, MB = 2377, MD = 885 et ME = 584.
Vous ignorez tout de la trigonométrie.
Déterminez (de tête) la distance MC au mètre le plus proche Solution de Paul Voyer
La construction à la règle et au compas d'un pentagone régulier est bien connue.
Il en existe plusieurs, dont celle-ci :
Les données sont redondantes, d'où la nécessité d'indiquer dans l'énoncé qu'il s'agit d'une approximation (sinon la construction serait impossible).
On pense à une approche par les nombres complexes, prédigérée par le théorème de Ptolémée(1), qui permet d'écrire :
- Pour le quadrilatère convexe inscriptible MEAB : MA*EB = ME*AB+MB*AE soit 1830*EB = (584+2377)*AE
- Pour le quadrilatère convexe inscriptible MBCD : MC*BD = MD*BC+MB*CD soit MC*BD = (885+2377)*CD.
- Pour le quadrilatère convexe inscriptible MEBD : MB*ED = ME*BC+MD*EB soit 2377*ED = (584+885)*BC
- Les autres équations possibles de ce type ne sont pas indépendantes des précédentes.
L'élimination de AE (ou AB/BC/CD/DE) et de AD (ou BD/CE/DA/EB) entre ces 3 équations donne :
MA+MC = MB+MD+ME,
ce qui donne MC = 2377+584+885-1830 = 2016.
Comme prévisible, la distance arrondie de MC vaut 2016 mètres .
(1) D'après le Théorème de Ptolémée, un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si le produit de ses deux diagonales est égal à la somme des deux produits des côtés opposés deux à deux.
