D289 ‒ L'inconnue du Pentagone
Soit un point M sur l'arc DE d'un cercle circonscrit à un pentagone régulier ABCDE.
On dispose des distances arrondies au mètre le plus proche des cordes MA = 1830, MB = 2377, MD = 885 et ME = 584
Vous ignorez tout de la trigonométrie. Déterminer (de tête) la distance MC au mètre le plus proche.
Solution par P. Gordon Remarque liminaire
Puisque l'énoncé demande de raisonner "de tête", on est tenté de dire : les triangles AMB et BMC ont deux côtés égaux et un angle égal, donc MC = 1830. C'est un piège! C'est faux car l'angle en question n'est pas entre les côtés égaux. En outre M serait alors au milieu de l'arc DE.
Calcul par le théorème de Ptolémée
Dans le quadrilatère inscriptible MBCD, on a, en notant a le côté du pentagone et d sa diagonale : MC d = 2377 a + 885 a
soit :
MC = 3262 a/d
Or, dans le quadrilatère inscriptible MEAB, on a, avec les mêmes notations : 1830 d = 2377 a + 584 a
soit :
1830 = 2961 a/d
D'où :
MC = 3262 × 1830 / 2961 = 2016,02837 D'où :
MC = 2016 au mètre le plus proche Autre calcul
Les angles EMA, AMB, BMC, CMD interceptent tous un angle de 36°. La loi des cosinus (improprement appelée théorème d'Al-Kashi, car ce résultat était connu d'Euclide) appliquée à l'un ou l'autre des triangles EMA, AMB donne le côté du pentagone.
Ce même théorème appliqué à l'un ou l'autre des triangles BMC, CMD donne le côté MC.
On trouve (pas tout à fait de tête!) MC = 2016 au mètre le plus proche.
Il est vrai que la loi des cosinus (alias théorème d'Al-Kashi) est tout de même de la trigonométrie!
