En effet, des calculs élémentaires donnent qui est le côté du pentagone régulier convexe

D289 ‒ L'inconnue du Pentagone

Soit un point M sur l'arc DE du cercle circonscrit à ce pentagone.

Vous disposez des distances arrondies au mètre le plus proche* des quatre cordes : MA = 1830, MB = 2377, MD = 885 et ME = 584.

Vous ignorez tout de la trigonométrie. Déterminez (de tête) la distance MC au mètre le plus proche.

* nota : de façon plus précise, si d est la dimension entière exprimée en mètres d'une corde, sa dimension exacte est dans l'intervalle [d - 0.05, d + 0.05].

Solution proposée par Michel Lafond

 La construction classique dans un cercle de rayon 1 est en figure 2 ci-dessus : AP0 est un diamètre, OB est perpendiculaire à AP0.

Le cercle de centre M, milieu de OA et de rayon MB coupe OP₀ en D.

La médiatrice de OD coupe le cercle en P₁ et P₄ qui sont deux sommets du pentagone.

En effet, des calculs élémentaires donnent qui est le côté du pentagone régulier convexe.

 On revient à la figure 1. Admettons le résultat :

Figure 1

O

P0

P1

P4

A

B

M I D

Figure 2

On a alors qui d’après l’énoncé est compris entre 2015,8 et 2016,2 m.

Donc MC = 2016 m à 20 cm près se calcule effectivement de tête.

 Démonstration de (1) :

J’utilise la trigonométrie en notant : le côté du pentagone et . est le nombre d’or qui vérifie

Utilisons le théorème de Ptolémée donnant uns CNS pour qu’un quadrilatère soit inscriptible : Appliqué à (MCBA) : Appliqué à (MDBE) : (2) (3) et (4) donnent :

 Remarque.

Notons

Un peu d’analytique montre que si on note R le rayon et x, y les coordonnées de M dans un repère

approprié, alors

qui donnent après diverses combinaisons :

Soit l’encadrement 2015,91 < MC < 2016,13 meilleur que le précédent, mais pas de tête…