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D20530. Fraction d’étoile Soit le pentagone régulier étoilé

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Academic year: 2022

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D20530. Fraction d’étoile

Soit le pentagone régulier étoiléABCDE. Les côtés BC etDE se coupent en A0; les points B0, C0, D0, E0 sont définis de manière analogue. Comparer l’aire de l’étoile (contourAB0CD0EA0BC0DE0) à celle du trapèzeCDC0D0. Solution

Chaque partie du trapèze trouve son pendant (de même aire) dans la partie de l’étoile extérieure au trapèze :DB0C0etBC0D0,CB0D0etEA0D0,B0C0D0 etAB0E0.

Les deux premières correspondances résultent de symétries d’axe CC0 et DD0 respectivement. Quant aux trianglesAE0B0 etC0D0B0, ils sont isocèles avec des basesB0E0 =B0D0 et des angles égaux enAetC0 par la similitude entre les pentagones réguliersADBEC etC0A0D0B0E0.

Ainsi l’aire de l’étoile est exactement deux fois celle du trapèze.

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