On considère un pentagone ABCDE pas nécessairement convexe inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et un point quelconque P du plan distinct de O et des sommets du pentagone. Démontrer que les points d’intersection des tangentes en A,B,C,D et E au cercle (Γ) avec les médiatrices des segments PA,PB,PC,PD et PE sont alignés.
Plus généralement, montrons que lorsque A décrit le cercle (dont nous prendrons le rayon comme unité), le lieu du point M, intersection de la tangente en A et de la médiatrice de PA est une droite perpendiculaire à OP. Notons p la longueur OP.
Nous avons les produits scalaires OA.OM=1, et PA.(AM+PM)=0 ; or AM=OM-OA, PM=OM-OP, PA=OA-OP. Donc, 2(OA-OP).OM=OA2-OP2.
Soit 2OP.OM=1+p2: M se projète en un point fixe Q de la droite OP, puisque OQ=(1+p2)/2p. Le lieu de M est donc la perpendiculaire à OP passant par Q. De plus, Q est le second point d’intersection des cercles de diamètre OM et PM.
