- D1981. Variations sur un thème connu (2ème épisode)
On reprend les notations de l'énoncé D1980. On a vu que lorsque O est sur le cercle (ABC) le point P décrit un segment [MN].
1) Quel est le lieu du milieu de [MN] lorsque O parcourt le cercle (ABC) ? 2) Que peut-on dire alors de la longueur MN ?
Q1) Dans D1980, quand (L) pivote autour du point fixe O, on a montré que P décrit une ellipse qui s'inscrit dans un parallèlogramme. Le centre F de ce parallèlogramme est l'intersection d'une
perpendiculaire à AC issue du milieu B'' de OB et d'une perpendiculaire à AB issue du milieu C'' de OC. Mais ces droites B''F et C ''F sont les images des hauteurs issues de B et C dans le triangle ABC par l'homothétie (O,1/2).
Autrement dit, si H est l'orthocentre du triangle ABC, le centre F de l'ellipse est le milieu de OH.
Quand O parcourt le cercle (ABC), l'ellipse devient le segment MN, son centre F est le milieu de MN, il décrit l'image du cercle (ABC) par l'homothétie (H,1/2) :
le milieu du segment MN décrit le cercle d'EULER
Q2) Démonstration de :longueur MN = diamètre du cercle (ABC) La figure se trouve en page 2
Les tangentes au cercle de diamètre OB qui sont perpendiculaires à AC ont pour points de contact B1 et B2. Les tangentes au cercle de diamètre OC qui sont perpendiculaires à AB ont pour points de contact C1 et C2. Si B' vient en B1, C' vient en C1. Si B' vient en B2, C' vient en C2.
Les tangentes en B1 et C1 se coupent en M. Les tangentes en B2 et C2 se coupent en N.
Les tangentes en C1 et C2 se coupent en K.
Posons (AB,AC) = (OB,OC) = α mod π
(KM,KN)=(KM,AB)+(AB,AC)+(AC,KN)= π/2 + α + π/2 = α mod π KM = B1B2 / sin α = OB /sin α et KN = C1C2 / sin α = OC / sin α.
MN² = KM²+KN² – 2.KM.KN.cosα =[OB² + OC²– 2.OB.OC.cosα ]/ sin² α = BC² / sin² α
Soit par exemple V diamétralement opposé à B sur le cercle (ABC), on a encore (VB,VC) = α, on reconnaît que BC/sin α = BV d'où MN² = BV² .
Conclusion : longueur MN = diamètre du cercle (ABC)
