D20019. Le pentagone de D¨ urer
Albert D¨urer construit un pentagone `a cˆot´es ´egaux de la mani`ere suivante,
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a partir d’un cˆot´eAB :
Construire les triangles ´equilat´erauxABF,AF G,BF H, puisI, milieu de l’arc AB sur le cercle de centre F.
C est l’intersection du prolongement de GI avec le cercle de centre B et de rayon AB.
E est l’intersection du prolongement de HI avec le cercle de centre A et de rayon AB.
D est l’intersection la plus ´eloign´ee de AB des cercles de centres C et E et de rayon AB.
D´eterminer les angles de ce pentagoneABCDE et les comparer `a ceux du pentagone r´egulier.
Solution
La m´ediatrice deABest axe de sym´etrie de la figure. Je prends pour axes de coordonn´eesF xselonF H,F yselonF I. Je note les angles (BC, BA) = B, (CD, CB) = ˆˆ C, (DE, DC) = ˆD.
Prenant le cˆot´e du pentagone comme unit´e de longueur, je dresse le tableau de coordonn´ees
x y
A −1/2 √
3/2
B 1/2 √
3/2 C 1/2−cos ˆB √
3/2 + sin ˆB
= sin( ˆD/2)
D 0 yC+ cos( ˆD/2)
E −xC yC
F 0 0
G −1 0
H 1 0
I 0 1
L’alignement GIC est parall`ele `a la premi`ere bissectrice des axes, donc
√3/2 + sin ˆB−1 = 1/2−cos ˆB, ce qui d´etermine l’angle ˆB :
sin
3π
4 −Bˆ
= 3−√ 3 2√
2 , d’o`u on tire ˆB = ˆA= 0,602034π = 108◦2105800. Puis ˆD/2 = arcsin(1/2−cos ˆB) fournit
Dˆ = 0,606623π= 109◦1103200.
Enfin ˆC= ˆE = 3π/2−Bˆ−D/2 = 0,ˆ 594655π = 107◦201600.
L’´ecart par rapport au pentagone r´egulier (d’angles 108◦) n’atteint pas un degr´e et quart.
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