Le cercle (G) et la droite AB sont échangés dans l'inversion de pôle I, de cercle fixe (C) et de puissance :
[1] IP.IJ = IA2 = 4 r1.R.
Un cercle tangent à la droite AB et au cercle (G) est invariant par l'inversion, il est donc orthogonal au cercle (C). Et réciproquement : si un cercle est orthogonal à (C) et tangent à AB, il est tangent à (G).
Choisissons un point M sur (C), désignons par Q l'intersection de IM avec AB et considérons le cercle (orthogonal à (C)) tangent à IM en M et à la droite AB. Son centre C2 est sur la tangente en M à (C) et sur la bissectrice de l'angle MQA.
Soit c2 la projection de C2 sur AB, on a : QM = Qc2 et c2M = r2 .
Si nous construisons les points C3 et c3 de façon analogue. On a : C2C3 = r2 + r3 et c2c3 = 2.QM
donc, dans le triangle rectangle C2QC3 : [2] r2 r3 = QM2 .
Mais C2C3 / c2c3 = IQ / IP (côtés perpendiculaires), ce qui donne : C2C3 . IP = c2c3 . IQ ,
C'est-à-dire :
2 (r2 + r3)r1 = 2 QM . IQ = 2 QM (IM – QM) ou encore :
(r2 + r3)r1 + QM2 = QM . IM .
En élevant au carré et en tenant compte de [1] et [2], c'est la relation cherchée.
