Stanislas
Calcul formel
TP n°1 - Calculs élémentaires
MPSI 1
Rappels élémentaires.
• L’invite de commande > doit débuter toute ligne de calcul.
• Le point-virgule; doit terminer toute ligne de calcul.
• La toucheEnter permet d'évaluer une ligne de calcul.
Pour aller plus loin.
• Pour passer à la lignesans eectuer le calcul, utiliser Shift + Enter.
• Pour évaluer sans afficher, terminer la ligne par deux points :
• Pour réinitialiser toutes les variables et fonctions, utiliser l'instruction restart.
• Pour ajouter un module, utiliser l'instruction with(<module>).
• Pour approfondir vos connaissances sur une fonction, utiliser l'instruction help(<function>).
• Pour progresser et déboguer vos programmes, lisez les messages d'erreur.
Les commandes de ce T.P.
• simplify, evalf • solve, rsolve
• seq • plot
• sum • limit
• -> • @@
• D • binomial
I - Opérations élémentaires Exercice 1. (simplify,evalf) 1. Simplier l'expression
√3
32√4 277√5
818
√5
92√2
243560√ 3. 2.Pour tout réelx, simplier l'expression
x6+45x4−81x2+27 6x(x2+3)2
3
+
−x4+30x2−9 6x(x2+3)
3
+
−6x3+18x (x2+3)2
3
. En déduire que tout nombre entier peut se décomposer comme la somme du cube de trois nombres rationnels.
3. Comparer et interpréter les deux lignes de commandes suivante
evalf(1/(sqrt(2) - 1) - (1+sqrt(2))); simplify(1/(sqrt(2) - 1) - (1+sqrt(2)));
Exercice 2. (solve,plot)
1. Résoudre surRl'équation3|2−x|+ 2|x−5|= 7.
2. Reprendre la question précédente avec l'inéquation |x2 + 2x+ 1| > |x −4|. Représenter graphiquement, à l'aide de Maple, cette inéquation.
3. Soit a ∈ R. Résoudre le système d'équations
ax+y= 2
x+ay=−2 . Commenter le résultat obtenu par Maple.
Exercice 3. (solve,allvalues,fsolve)
1.Déterminer les racines du polynôme x3+ 14x2+ 12x+ 1. On remarque que les solutions sont données sous forme de séquence.
2. À l'aide de la commance allvalues et de la commande RootOf, déterminer les racines du polynômex4+x3+ 12x2+ 5x+ 3.
3. Déterminer des valeurs approchées des racines réelles du polynômex5−3x−1.
4.Résoudre surRl'équationsin(2x)+sin(3x)+sin(4x) = 0. On utilisera l'option allsolutions.
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II - Suites
Exercice 4. (sum,evalf[..],limit)
1. Déterminer la somme desnpremiers entiers naturels.
2. Déterminer une valeur approchée à 10−20 près des quantités 1000P
k=1 1
k2 et π62. Que conjecturez- vous ? Vériez votre conjecture à l'aide de Maple.
3. Que signie l'instruction
suite1 := [seq([n,n! * exp(n)/(sqrt(2 * Pi * n) * n^n)], n = 1..100)]: ? 4. Représentez graphiquement la suite
n!en
√2πnnn
n∈N?
pour n= 1..100. Que conjecturez-vous ? Exercice 5. (rsolve)
1. Résoudre la relation de récurrenceu0∈Retun+1−(n+ 1)un= 2n(n+ 1)!. 2. Sans utiliser Maple.
a)Déterminer l'ensemble des suites dénies par récurrence par wn+1−(n+ 1)wn= 0.
b) Cherchez une suite (Cn) telle que la suite un = Cnn! soit une solution particulière de la relation de récurrence.
c)Retrouvez le résultat obtenu à la question1.
III - Fonctions Exercice 6. (->,@@)
1. Dénir la fonctionf : x7→0.5x−33. 2. Calculer l'itérée5ème def en10.
3.Représenter graphiquement les50premiers termes de la suite dénie par récurrence paru0 = 13 et pour tout n∈N,un+1 = 0.5un−33.
Exercice 7. (D,binomial)
1. Soitϕla fonction dénie sur Rparϕ : x7→ Pn
k=0 n k
xk. Calculerϕ0. En déduire Pn
k=1
k nk . 2. Retrouvez votre résultat à l'aide d'une seule commande Maple.
Stanisla 2/2 A. Camane
