Chapitre 3 Des nombres entiers au plan cartésien

1 Chapitre 3

Des nombres entiers au plan cartésien

A) Les nombres entiers

Les nombres entiers sont constitués des nombres entiers positifs et négatifs. On appelle l’ensemble

ℤ

B) Les nombres opposés

Les nombres négatifs sont les opposés des nombres positifs, les opposés sont donc 2 nombres de signes contraires. Sur une droite numérique, chaque nombre entier a un opposé situé à la même distance du zéro.

On traduit le signe « - » par le mot opposé.

Ex : 1) -5 se lit « l’opposé de 5 ».

2) - (-9) se lit « l’opposé de l’opposé de 9 » ce qui correspond à 9.

On se pratique!

a) L’opposé de -8 est _________ d) - (- (-6)) correspond à _________

b) L’opposé de l’opposé de 4 est ________ e) - (- (- (-20))) correspond à ______

c) L’opposé de l’opposé de l’opposé de -3 est __________

Notes de cours complétées 2018-2019

➪

8 -6

4 20

3

2

C) Ordre

La droite numérique est utile pour comparer l’ordre de deux nombres entiers.

On se pratique!

1. Compare les nombres suivants (<, >, =).

a) -15 _____ -16 b) -44 ______ -43 c) -112 _____ -108 d) 4 _____ -4

e) – 1024 ______ - 1 028 f) -12 456 ______ -12 450

 

 

 

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D) Le plan cartésien

Un plan cartésien est un système de repérage formé de deux droites graduées qui se coupent perpendiculairement.

Définition Nom

Le point d’intersection des deux droites (0, 0).

Nom pour désigner les 4 parties obtenues par les 2 droites graduées dans un plan cartésien.

Les deux nombres décrivant la position d’un point dans le plan cartésien. Ex : (-4, 6)

Le premier nombre décrivant la position d’un point.

La coordonnée en x.

Le deuxième nombre décrivant la position d’un point. La coordonnée en y.

Autre nom pour désigner l’axe des x.

Autre nom pour désigner l’axe des y.

y

x

Le pas de graduation est de ___ 0,5

Origine Quadrant Coordonnées

Abscisse Ordonnée

L’axe des abscisses L’axe des ordonnées

4 Point d’intersection : __________

Exemple :

Trouve les coordonnées de chacun des points du plan cartésien.

R( __, __ ) S( __, __ ) T( __, __ ) U(__, __ )

On se pratique!

1. Sur le plan cartésien ci-haut, place les points suivants :

A(-3, 1) B(0, -5) C(3, 0) D(2, -4) E(0, 3) F(-3, -4) a) Quelle est l’abscisse du point A? _______

b) Quelle est l’ordonnée du point F? _______

c) Détermine mentalement les nouvelles coordonnées du point D si l’on effectue un déplacement horizontal de -4 et un déplacement vertical de 6.

_________

2. Donne les coordonnées des points identifiés.

Nomme deux points qui ont la même ordonnée.

____________

3. Dans un plan cartésien, quel point est à l’intersection des droites AB et CD si A(-6,-2), B(3, -8), C(-4, -7), D(0,5)

A( ___, ___ ) D( ___, ___ ) B( ___, ___ ) E( ___, ___ ) C( ___, ___ )

2 3 -1 2 -4 -1

3 -2

•

•

• •

•

A

•

B

C

D E

F

-3 -4

2 – 4 = -2 -4 + 6 = 2 D(-2, 2)

2 3 0 2 -3 1

-2 -2 1 -2

D et E

A

•

• •

•

C B

D

Intersection (-3, -4)

NOTE : Le point d’intersection c’est le point de rencontre entre des droites, c’est-à-dire l’endroit où elles se coupent.

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E) Addition de nombres entiers

 La somme de deux nombres entiers positifs est un nombre entier positif.

Ex : 2 + 3 = 5

 La somme de deux nombres entiers négatifs est un nombre entier négatif.

Ex : -2 + -3 = -5 Ex : -6 + -10 = -16

 La somme d’un nombre entier positif et d’un nombre entier négatif est du signe de l’entier le plus éloigné de 0.

Ex : -3 + 2 = -1 Ex : -2 + 3 = 1 Ex : 10 + -12 = -2

 La somme de deux nombres opposés est toujours 0.

Ex : -3 + 3 = 0 Ex : 48 + -48 = 0

F) Soustraction de nombres entiers

Soustraire un nombre revient à additionner son opposé.

Ex : -12 - 5 = -12 + -5 = -17 Ex : 24 - -6 = 24 + 6 = 30

On se pratique!

1. Trouve le résultat des additions et soustractions suivantes. Tu peux t’aider de la droite numérique.

a) -8 + 11 = ____ b) -5 + -6 = ____ c) 7 - -3 = ____ 3 -11 10

-9 -7 -5 -3 -1

-11 -10 -8 -6 -4 -2 0 1 3 5 7

-12 2 4 6 8

6

2. Trouve le résultat des additions et des soustractions suivantes.

a) 4 + -10 = _______ b) -7 + -4 = ________

c) 3 - -9 = ________ d) 4 – 5 = _________

e) -10 – 9 = _______ f) -6 + 12 = ________

g) 14 + -14 = ______ h) -8 – 7 = _________

3. Détermine mentalement les coordonnées du point B(-3, 4) si l’on effectue : a) un déplacement vertical de 4 __________

b) un déplacement horizontal de -6 ________

G) L’écart

L’écart est la différence entre le plus grand nombre (maximum) et le plus petit nombre (minimum). Un écart est toujours POSITIF.

Ex. : Il annonce aujourd’hui 3C comme maximum. Le minimum prévu est de -5C.

Calcule l’écart de température.

E = max – min = 3 - -5

= 8 L’écart est de 8C

Ex. : Trouve le maximum sachant que le minimum est de -12C et que l’écart est de 4C.

E = max – min

4 = max - -12 4 = -8 + 12 Le max est de -8C

Ex. Trouve le minimum sachant que le maximum est de -17C et que l’écart est de 6C.

E = max – min

Écart = grand – petit

c) un déplacement horizontal de -5 suivi d’un déplacement vertical de -8 ________

-6 -11

12 -1

-19 6

0 -15

4 + 4 = 8 (-3, 8)

-3 - 6 = -9 (-9, 4)

-3 - 5 = -8 4 – 8 = -4

(-8, -4)

+

6 = -17 – min 6 = -17 - - 23 Le min est de -23C +

7 On se pratique!

1. Trouve le nombre représenté par la flèche.

2. a) Trouve le nombre situé à égale distance de -4 et 10 ?

b) Trouve le nombre situé à égale distance de -8 et -26?

H) Multiplication et division de nombres entiers

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 Le produit ou le quotient de deux nombres de mêmes signes est positif. Ex : 4 x 6 = 24 Ex : -35 ÷ -5 = 7

 Le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif. Ex : -4 x 6 = -24 Ex : 35 ÷ -5 = -7

12 36

-46

7

-76 -28

-8 17

36 - -4 = 40 (écart) 40 ÷ 10 = 4 (bonds)

-28 - -76 = 48 (écart) 48 ÷ 8 = 6 (bonds)

17 - -8 = 25 (écart) 25 ÷ 5 = 5 (bonds)

10 - -4 = 14 (écart) 14 ÷ 2 = 7 (bonds)

10 – 7 = 3 ou -4 + 7 = 3

(-4 + 10) ÷ 2 6 ÷ 2 = 3

ou

-8 - -26 = 18 (écart) 18 ÷ 2 = 9 (bonds)

-8 – 9 = -17

(-8 + -26) ÷ 2 -34 ÷ 2 = -17

ou

8

}

pair et impair : ___________

}

En résumé (même chose pour la ) :

+ x + = ____

+ x - = ____

- x + = ____

- x - = ____

On se pratique!

a) -5 x -10 = _____ b) -8 ÷ 4 = ______

c) -3 x 9 = ______ d) 6 x -5 = ______

e) -72 ÷ -8 = _____ f) 42 ÷ -7 = _____

I) L’exponentiation

Pour l’exponentiation, on applique la règle des signes de la multiplication. On convient de toujours placer un nombre négatif entre parenthèses si l’on désire l’affecter d’un exposant.

Ainsi, le carré de –2 s’écrit (–2)² et sa puissance est 4. On évite ainsi toute confusion avec l’opposé du carré de 2, qui s’écrit –2² et qui est –4.

Exemples :

a) (-5)² = -5 x -5 = 25 b) -5² = -(5 x 5) = -25 c) (-5)³ = -5 x -5 x -5 = -125 d) -5³ = -(5 x 5 x 5) = -125

On se pratique!

a) (-2)² = ____________ b) -6² = ___________

c) (-2)³ = ____________ d) -5³ = ___________

e) (-2)⁴ = ____________ f) -2⁴ = ___________

g) (-3)³ = ____________ h) -3⁴ = ___________

 2 signes pareils donnent une réponse : ____.

 2 signes contraires donnent une réponse : ____.

 Exposant pair : _____________

 Exposant impair : _____________

+ - - +

+ -

50 -27

9

-2 -30

-6

4 -8

16 -27

-36 -125

-16 -81 Réponse +

Réponse -

Toujours - lorsqu’il n’y a pas de ( ).

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J) Les chaînes d’opérations

Rappel : ❶ Les parenthèses ❷ Les exposants

❸ Les multiplications et les divisions dans l’ordre rencontré.

❹ Les additions et les soustractions dans l’ordre rencontré.

On se pratique!

a) -3 x 6 - -7 - 4² b) (8 – 25) x 6 – ( 6 – 7)³ -3 x 6 + 7 – 16 -17 x 6 – ( 6 – 7)³ -18 + 7 – 16 -17 x 6 – (-1)³ -11 – 16 -17 x 6 - -1 -27 -102 + 1 -101

c) 15 x -4 x 9 + (-72 ÷ (-3)² x 5) d) (-5 x 4) + (15 – 36 ÷ -6) 15 x -4 x 9 + (-72 ÷ 9 x 5) -20 + (15 – 36 ÷ -6) 15 x -4 x 9 + (-8 x 5) -20 + (15 - -6) 15 x -4 x 9 + -40 -20 + 21 -60 x 9 + -40 1 -540 + -40

-580

K) La moyenne

Ex. : Calcule la moyenne des chiffres suivants : -5, 8, -3, 0, -4, -8 Moyenne = -5 + 8 -3 + 0 – 4 – 8 = -12

6 6 = -2

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L) Sitution de pratique

Cléopâtre est sans doute la femme la plus célèbre et la plus puissante de toute l’Antiquité. Née à Alexandrie en l’an –69, elle a été reine d’Égypte de l’an –51 jusqu’à sa mort, en l’an -30. Cléopâtre est connue en partie à cause de sa vie amoureuse. Un fils est né de son union avec Jules César. Après la mort de celui-ci, elle rencontra l’un de ses fidèles lieutenants, Antoine, qui a été son dernier compagnon.

a) Calcule l’âge de Cléopâtre à sa mort.

b) Calcule l’âge de Cléopâtre lorsqu’elle est devenue reine.

c) Calcule la durée du règne de Cléopâtre.

d) Sachant que César était plus vieux que Cléopâtre de 31 ans, détermine l’année de naissance de celui-ci.

e) Sachant qu’Antoine était plus jeune que Cléopâtre de 12 ans, détermine l’année de naissance de celui-ci.

-30 0 -51 -69

Né reine Mort

E = max – min

-30 - -69 = 39 ans

-51 - -69 = 18 ans

-30 - -51 = 21 ans

-69 - 31 = -100 donc en l’an -100

-69 + 12 = -57 donc en l’an -57

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Feuille aide-mémoire Chapitre 3

 Donner l’opposé d’un nombre.

 Placer des nombres sur une droite numérique et comparer des nombres entiers (<, >, =).

 Reconnaître le vocabulaire associé à un plan cartésien (abscisse, ordonné, origine, coordonnée, point d’intersection).

 Être capable de placer et de reconnaître des points dans un plan cartésien.

 Appliquer les lois de signe des 4 opérations dans les entiers (+, -, x, ÷).

 Calculer l’écart sur une droite numérique et dans des situations faisant référence à des nombres avant Jésus-Christ.

 Appliquer les lois de l’exponentiation (exposant pair et exposant impair, parenthèse ou pas de parenthèse).

 Calculer des chaînes d’opérations.

 Calculer la moyenne.