A373 - Les nombres en or

On note φ le nombre d'or qui est la plus grande racine réelle de l'équation x² − x − 1 = 0.

Un entier naturel n est dit nombre en or s'il existe:

- deux entiers naturels p et q,

- p + q + 1 entiers ap, ap-1, ...a1, a0, a-1, a-2, ... , a-q + 1, a-q ne prenant que les valeurs 0 et 1 tels que:

n = ap.φ^p + ap-1.φ^p-1 + ....+ a₁.φ + a₀ + a-1.φ^-1 + ...+a-q.φ^-q =∑ai φⁱ.

Par exemple l'entier 1 est un nombre en or car on peut écrire 1 = φ^-1 + φ^-2 avec ai = 0 pour i ≥ 0, a-1 = a-2 = 1.

Q₁ Montrer que les entiers 2 et 3 sont des nombres en or et en donner une représentation en or.

Q₂ Trouver une représentation en or des entiers 2018 et 2019.

Q₃ Démontrer que tous les entiers naturels admettent une représentation en or.

L’égalité fondamentale φ²= φ+1 entraine que φ^k+2= φ^k+1+ φ^k ; il en résulte deux propriétés :

- Toute somme ∑ai φⁱ peut être transformée en une somme φ^j+ φ^k+... où j>k+1, etc...

autrement dit une somme de puissances décroissantes non consécutives de φ : il suffit de supprimer les termes consécutifs en appliquant l’égalité ci-dessus en commençant à gauche, et de recommencer autant de fois que nécessaire.

- Toute somme de puissances décroissantes non consécutives commençant par φⁱ peut être transformée en une suites de puissances décroissantes commençant par φ^j avec j<i : il suffit d’appliquer l’égalité en sens inverse en commençant par la droite,...

Il découle de ces propriétés que l’on peut transformer toute somme ∑ai φⁱ en une autre où le terme φ^k n’apparait pas, en particulier pour k=0

Q1 : Illustrons l’application de ces propriétés sur les premières valeurs entières : 1= φ^-1 + φ^-2 donc 2=1+ φ^-1+ φ^-2= φ+ φ^-2 ; 3= φ+1+ φ^-2= φ²+ φ^-2

4= φ²+1+φ^-2 = φ²+1+ φ^-3+ φ^-4= φ²+ φ^-1+ φ^-2+ φ^-3+ φ^-4 5= φ²+1+φ^-1+ φ^-2+ φ^-3+ φ^-4= φ²+ φ+ φ^-1+ φ^-4, etc...

Q3 : La dernière propriété énoncée en préambule entraine, par récurrence, que tout entier naturel a une représentation en or : en effet, si n a une représentation en or, on peut la transformer en une représentation sans terme constant, donc n+1 a une représentation en or...

Q2 : Nous utiliserons la suite des nombres de Lucas, où L(n+2)=L(n+1)+L(n) avec L(0)=2, L(1)=1 d’où L(n)= φⁿ+(-1/φ)ⁿ. Tout nombre entier peut se décomposer en une somme de nombres de Lucas. Ainsi 2018=1364+521+123+7+3 soit

2018=L(15)+L(13)+L(10)+L(4)+L(2)= φ¹⁵+φ¹³+φ¹⁰+φ⁴+φ²+φ^-2+φ^-4+φ^-10-(φ^-13+ φ^-15) et comme φ^-10= φ^-11+ φ^-12= φ^-11+ φ^-13+ φ^-14= φ^-11+ φ^-13+ φ^-15+ φ^-16 ,

2018=φ¹⁵ +φ¹³+φ¹⁰+φ⁴

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A373 - Les nombres en or