Les nombres en or
Problème A373 de Diophante
On note φ le nombre d'or (la plus grande racine de l'équation : x² − x − 1 = 0).
Un entier naturel n est dit nombre en or s'il existe:
- deux entiers naturels p et q,
- p + q + 1 entiers ap, ap-1, ...a1 ,a0 ,a-1, a-2, ....a-q + 1, a-q ne prenant que les valeurs 0 et 1 tels que :
n = ap.φp + ap-1.φp-1 + ....+ a .φ + a + a₁ ₀ -1. φ-1 + ...+a-q.φ-q = ∑ ai. φi
( p ≥ i ≥ -q ).
Par exemple l'entier 1 est un nombre en or car on peut écrire 1 = φ-1
+ φ-2 avec ai = 0 pour i ≥ 0, a-1 = a-2 = 1.
Q1 Montrer que les entiers 2 et 3 sont des nombres en or et en donner une représentation en or.
Q2 Trouver une représentation en or des entiers 2018 et 2019.
Q3 Démontrer que tous les entiers naturels admettent une représentation en or.
Solution
Remarque : l’entier 1 peut aussi s’écrire 1 = φ0 où a0 = 1 et ai = 0 pour i ≠ 0.
Rappelons que toute puissance φn de vaut an*φ + bn, où an et bn, sont des nombres de Fibonacci bien choisis.
n an bn
φn
-17 1597 -2584
-16 -987 1597
-15 610 -987
-14 -377 610
-13 233 -377
-12 -144 233
-11 89 -144
-10 -55 89
-9 34 -55
-8 -21 34
-7 13 -21
-6 -8 13
-5 5 -8
-4 -3 5
-3 2 -3
-2 -1 2 0,3819660113
-1 1 -1 0,6180339877
0 0 1 1
1 1 0 1,6180339877
2 1 1 2,6180339877
3 2 1
4 3 2
5 8 3
6 13 8
7 21 13
8 34 21
9 55 34
10 89 55
11 144 89
12 233 144
13 377 233
14 610 377
15 987 610
16 1597 987
17 2584 1597
De là on peut trouver : 2 = φ1 + φ-2 3 = φ2 + φ-2
Partant de 2018, soustrayons la plus grande puissance de φ possible et de proche en proche on aboutit à 2018 = φ15 + φ13 + φ10 + φ4 + φ2 + φ-2 + φ-4 + φ-11 + φ-16
Contrôle :
n an bn
15 610 377
13 233 144
10 55 34
4 3 2
2 1 1
-2 -1 2
-4 -3 5
-11 89 -144
-16 -987 1597
Totaux 0 2018
On trouve aussi : 2019 = φ15 + φ13 + φ10 + φ4 + φ2 + φ0 + φ-2 + φ-4 + φ-11 + φ-16
