Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚13 L’ensemble R des nombres r´ eels
Exercice 116 (In´egalit´es) 1. Soitx∈Rtel que|x−1|<2.
(a) En utilisant une in´egalit´e triangulaire, montrer que :|x|<3.
(b) En utilisant une in´egalit´e triangulaire, montrer que :|x3−3x2−4|<58.
(c) En utilisant une in´egalit´e triangulaire, montrer que :|xcos(ex)−5|>2.
(d) En d´eduire une majoration de
x3−3x2−4 xcos(ex)−5 . 2. Soit (x, y)∈]−1,1[2.
(a) En utilisant une in´egalit´e triangulaire, montrer que :|1 +xy|>0.
(b) D´emontrer que : x+y
1 +xy ∈]−1,1[.
Exercice 117 (Un pas vers la continuit´e d’une fonction en un point) 1. Soitx∈[−1,1]. D´eterminer un minorant et un majorant de x+ 2
x+ 5 sur l’intervalle [−1,1].
2. Soitε∈R+∗. D´eterminer un r´eel strictement positifαtel que :
∀x∈[−1,1] |x|< α⇒
x2+ 3x+ 5 x+ 5 −1
< ε.
Exercice 118 (Borne sup de A+B, o`uA etB sont deux parties non vides et major´ees de R) SoientA etB deux parties non vides et major´ees deR. On d´efinit le sous-ensembleA+B deRpar :
A+B={a+b|a∈Aetb∈B}.
1. Justifier queA,B et A+B admettent des bornes sup´erieures.
2. Montrer que sup(A) + sup(B) est un majorant deA+B.
3. Montrer que sup(A+B) = sup(A) + sup(B).
Exercice 119 (Borne inf et borne sup de l’ensemble des termes d’une suite) SoitT la partie deRd´efinie par :
T = n−1
n+ 1 : n ∈N
.
1. D´emontrer queT admet un plus petit ´el´ement. Qu’en d´eduire quant `a sa borne inf´erieure ? 2. D´emontrer que la borne sup´erieure deT existe.
3. D´eterminer sup(T).
Exercice 120 (Intersection et r´eunion d’intervalles)
1. Montrer que l’intersection de deux intervalles r´eels est un intervalle r´eel.
On pourra distinguer deux cas suivant que les deux intervalles se rencontrent ou non.
2. La r´eunion de deux intervalles r´eels est-elle n´ecessairement un intervalle r´eel ?
Exercice 121 (Existence d’une suite de nombres rationnels convergeant vers un r´eel donn´e) Soitxun nombre r´eel fix´e.
1. D´emontrer que pour toutn∈N∗, il existe un nombre rationnelxn tel que : x−1
n < xn< x.
2. Que peut-on en d´eduire ?
Exercice 122 (Un crit`ere pour qu’un r´eel soit nul) Soitx∈R+ tel que :
∀q∈Q+∗ x≤q.
Montrer quex= 0.
Exercice 123 (Quelques propri´et´es ´el´ementaires de la partie enti`ere) 1. Montrer que :
∀x∈R E(x+ 1) =E(x) + 1.
2. (a) Montrer que :
∀(x, y)∈R2 E(x) +E(y)≤E(x+y).
(b) Donner deux r´eelsxety tels que : E(x+y)6=E(x) +E(y).
(c) Donner deux r´eelsxety tels que : E(x+y) =E(x) +E(y).
Exercice 124 (Simplification de E(x) +E(−x) pour un r´eel x) Soitx∈R. Simplifier :
E(x) +E(−x).
On pourra distinguer deux cas suivant quexappartienne `aZou non.
Exercice 125 (Une ´equation mettant en jeu la partie enti`ere) R´esoudre l’´equation
E(p
x2−4) = 3 apr`es avoir pr´ecis´e son domaine de d´efinition.
