Soit un point M sur l'arc DE d'un cercle circonscrit à un pentagone régulier ABCDE.
On dispose des distances arrondies au mètre le plus proche des cordes MA = 1830,MB = 2377, MD
= 885 et ME = 584
Vous ignorez tout de la trigonométrie. Déterminer (de tête) la distance MC au mètre le plus proche.
Nous avons les égalités d’aires : MABC=MAB+MBC ; MEB+MBC=MEBC, MBD+MAB=MABD, donc MABC+MEB+MBD=MABD+MEBC ; comme MABD=MACD et MEBC=MEAC, MABC+MEB+MBD=MEAC+MACD Compte tenu que EB=EC=AC=AD=DB et des égalités angulaires
(ME, EB)=(MA, EC)=(MB, AC)=(MC, AD)=(MD, DB) on en déduit que MB+ME+MB=MA+MC. Donc MC=2377+584+885-1830=2016.
On retrouve une propriété du triangle équilatéral, que l’on doit pouvoir généraliser aux polygones réguliers impairs...
