D289 ‒ L'inconnue du Pentagone

D289 ‒ L'inconnue du Pentagone

Soit un point M sur l'arc DE d'un cercle circonscrit à un pentagone régulier ABCDE.

On dispose des distances arrondies au mètre le plus proche des cordes MA = 1830, MB = 2377, MD = 885 et ME = 584

Vous ignorez tout de la trigonométrie. Déterminer (de tête) la distance MC au mètre le plus proche.

Solution par Marie-Christine Piquet

Les 6 points A , B , C , D , E & M , appartenant au cercle circonscrit à ce pentagone , alors on utilise la formule de Ptolémée avec divers quadrilatères .

On en déduit les égalités suivantes : φ= 2

1 5

= 1.6180339.. est le nombre d'or φ = P = Q = R = S = T avec :

P = (X + 1830) / 2377 Q = 584 / (2377 - X) R = 885 / (2377 - 1830) S = (X - 584) / 885 T = (1830 - 885) / 584

avec la proportion P = Q , on en déduit : φ = (X + 1830 - 584) / X (1)

et avec les proportions R = S = T , on en déduit :

φ = (885 + X - 584 + 1830 - 885) / (2377 - 1830 + 885 + 584) = ( X - 584 + 1830 ) / (2377 - 1830 + 885 + 584) (2)

Les rapports (1) et (2) étant égaux , les numérateurs étant les mêmes,alors les dénominateurs sont égaux et X = 2377 - 1830 + 885 + 584 = 2016

Dans ce cas la longueur X est obtenue avec de simples addition & soustraction.