D289 ‒ L'inconnue du Pentagone
Soit un point M sur l'arc DE d'un cercle circonscrit à un pentagone régulier ABCDE.
On dispose des distances arrondies au mètre le plus proche des cordes MA = 1830, MB = 2377, MD = 885 et ME = 584
Vous ignorez tout de la trigonométrie. Déterminer (de tête) la distance MC au mètre le plus proche.
Solution proposée par Thérèse Eveilleau
Si a est le côté du pentagone régulier, sa diagonale est a*Phi.
Je vais utiliser le signe = mais en réalité il faudrait utiliser le signe d’arrondi car Phi étant irrationnel, les valeurs trouvées qui apparemment sont entières ne peuvent pas l’être.
Cela provient du fait que les valeurs proposées, comme indiqué dans le texte, sont arrondies.
Avec ce très cher Ptolémée dans le quadrilatère EADM on obtient
1830*a=885*a + 584*a*Phi donc
1830 = 885 + 584*Phi soit
584*Phi = 1830 - 885 584*Phi = 945
(valeur qui ne peut être qu’arrondie car Phi est irrationnel : cela vient du fait que les valeurs proposées 1830 et 885 sont forcément comme dit dans le texte, des valeurs arrondies).
De même
dans le quadrilatère EMDC on obtient
1830*a*Phi = 2377*a + 584*a
soit
1830*Phi = 2377 + 584 1830*Phi = 2961
Et enfin dans le quadrilatère MEAC MC*a + 584*a*Phi = 1830*a*Phi d’où
MC = 1830 *Phi – 584 *Phi Soit
MC = 2961 - 945
et bien entendu de tête avec deux soustractions et une addition : MC = 2016.
Rappelons qu’en dépit des apparences ces résultats sont approximés car Phi est irrationnel.
Les nombres proposés au départ sont forcément des arrondis.
