Enoncé J151 (Diophante) Le dernier jeton
Sur un échiquier de taille illimitée 81 jetons sont placés sur chacune des cases d’un carré 9×9. Comme dans le casse-tête du Solitaire, le jeu consiste, à chaque coup, à faire sauter un jeton horizontalement ou verticalement au dessus d’un deuxième jeton placé dans l’une des quatre cases adjacentes et à le faire atterrir sur la case suivante à condition qu’elle soit vide. Le deuxième jeton est alors enlevé.
Le jeu peut-il se terminer avec un seul jeton sur l’échiquier ? Pour les plus courageux : même question avec 4072324 jetons pla- cés sur les cases d’un carré 2018 x 2018.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Numérotant colonnes et rangées par les entiers relatifs, je colorie le quadrillage en donnant à la case en colonne x et rangée y la couleur (x+y) (mod 3).
A une étape quelconque du jeu, il y a n0, n1, n2 jetons sur des cases de couleur 0,1,2. Le mouvement suivant, quelle que soit sa direction, fait changer de parité ces trois nombres : augmentation de 1 pour la couleur d’arrivée du mouvement, diminution de 1 pour les deux autres.
Ainsi, pour terminer avec un seul jeton, (n0, n1, n2) = (1,0,0) à l’ordre près, il faut qu’au départ n0, n1, n2 ne soient pas tous de même parité.
La disposition en carré 9×9 ne satisfait pas cette condition : dans chaque colonne les trois couleurs sont représentées également, d’où n0=n1 =n2.
Au contraire, la disposition en carré n×n la satisfait si n n’est pas multiple de 3 (cas den = 2018). Il y a (n2+ 2)/3 jetons sur les cases de la couleur des coins du carré, et (n2−1)/3 jetons sur les cases des 2 autres couleurs.
Je n’ai vérifié la possibilité d’obtenir le jeton final qu’avec n= 2 oun= 4. Je présume que c’est possible aussi avec n= 2018.
