J 151. Le dernier jeton. Problème proposé par Raymond Bloch.
Sur un échiquier de taille illimitée 81 jetons sont placés sur chacune des cases d'un carré 9 × 9. Comme dans le casse-tête du Solitaire, le jeu consiste, à chaque coup, à faire sauter un jeton horizontalement ou
verticalement au-dessus d'un deuxième jeton placé dans l'une des quatre cases adjacentes et à le faire atterrir sur la case suivante à condition qu'elle soit vide. Le deuxième jeton est alors enlevé.
Le jeu peut-il se terminer avec un seul jeton sur l'échiquier ?
Pour les plus courageux : même question avec 4 072 324 jetons placés sur les cases d'un carré 2018 × 2018.
Solution.
Colorons les cases du plan entier avec 3 couleurs a, b, c selon le schéma périodique ci-dessous :
A tout moment du jeu, notons A, B, C le nombre de jetons situés respectivement sur des cases de couleur a, b, c. Le coloriage fait qu’à chaque coup, un ensemble de 3 cases de couleurs {a, b, c} est concerné.
Donc la parité de A, B, C change à chaque coup, puisque deux des quantités A, B, C diminuent de 1 et la troisième augmente de 1.
Or, au départ, avec un carré de 81 jetons, on a A = B = C = 27.
Donc, au bout de 79 coups, on aura A, B et C tous pairs (1)
Mais, pour que la réussite soit possible, il faut que les deux jetons qui restent au bout des 79 coups, soient consécutifs sur une ligne ou sur une colonne, ce qui impose A = 1, B = 1, C = 0 à une permutation près.
Ceci est contradictoire avec (1). On ne peut donc pas terminer avec un seul jeton.
Avec un carré de 2018 × 2018 jetons, la réussite est possible ainsi : Notons Ω l’opération ci-dessous en 3 coups, toujours possible en bordure du jeu :
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a b c a b c a b c b c a b c a b c a c a b c a b c a b a b c a b c a b c b c a b c a b c a c a b c a b c a b a b c a b c a b c b c a b c a b c a c a b c a b c a b - - -
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Ω a pour effet d’éliminer 3 jetons consécutifs sur une ligne ou sur une colonne (en orange ci-dessus).
En itérant 2018 fois Ω, on éliminera les 3 colonnes gauches du carré initial.
En répétant 672 fois ceci, il ne restera plus qu’une bande rectangulaire de 2018 × 2 jetons.
Notons Ω’ l’opération ci-dessous en 6 coups :
Ω’ a pour effet d’éliminer le rectangle de 2 × 3 jetons supérieurs (en orange ci-dessus).
En itérant 672 fois Ω’, il ne restera plus qu’un carré de 2 × 2 jetons permettant une réussite évidente.
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