E535. A saute-mouton
Sur un immense plateau percé de trous formant un quadrillage régulier, on place quatre fichets aux sommets d’un carré. Chaque fichet peut sauter par-dessus l’un quelconque des trois autres fichets et sa position d’arrivée est symétrique de sa position de départ par rapport au fichet qui a servi de mouton. Ce dernier reste en place. Après plusieurs mouvements, se peut-il que les quatre fichets forment un carré plus grand que le carré d’origine?
Solution proposée par Bernard Grosjean 1°) On ne peut faire un carré plus petit
En effet, par symétrie, tout saut amènera un fichet sur un angle du quadrillage. Les 4 sommets du carré, - distincts -, sont distants au minimum de la longueur d'un coté du carré du quadrillage, correspondant à la configuration d'origine.
2°) Par symétrie inverse, si on pouvait faire un carré plus grand, on pourrait revenir au carré plus petit.
Or, à partir d'un carré, c'est impossible (voir 1°), car il suffit de définir le quadrillage à partir du carré d'origine.
Remarque : si c'était possible, en poursuivant l'opération dans les 2 sens, on pourrait aller d'un carré infiniment petit à un carré infiniment grand.
