J151. Le dernier jeton
Sur un échiquier de taille illimitée 81 jetons sont placés sur chacune des cases d'un carré 9 x 9.Comme dans le casse-tête du Solitaire, le jeu consiste,à chaque coup,à faire sauter un jeton horizontalement ou verticalement au dessus d'un deuxième jeton placé dans l'une des quatre cases adjacentes et à le faire atterrir sur la case suivante à condition qu'elle soit vide. Le deuxième jeton est alors enlevé.
Le jeu peut-il se terminer avec un seul jeton sur l'échiquier?
Pour les plus courageux: même question avec 4 072 324 jetons placés sur les cases d'un carré 2018 x 2018.
A chaque coup, on peut remarquer que, dans la grille coloriée en 3 couleurs, la parité du nombre de case de chaque couleur change.
Dans une grille 9x9 , au départ : Bleu = 27 Jaune = 27 et Gris = 27 En un nombre pair de coups, la parité des trois couleurs sera toujours impaire.
Autrement dit :
Il est impossible de finir ce jeu en 80 coups...
( ...comme pour tout carré 3n x 3n, a-priori )
Dans un carré de taille supérieure ou égale à 6 :
Une position en « L » dont le grand côté n'a pas de voisinage est réductible.
Il est possible de mettre en place une récurrence. On peut toujours retirer 3 rangées sur le pourtour :
Il reste donc à voir, avec un peu de chance, si des carrés de taille inférieure à 6 sont des carrés solvables ou non...
Le carré 1 x 1 est trivialement solvable.
Le carré 2 x 2 l'est aussi.
Le carré 3 x 3 est impossible à résoudre, on l'a déjà vu.
Le carré 4 x 4 est solvable vu qu'il se ramène facilement au carré 2 x 2 :
Le carré 5 x 5 est solvable aussi :
( de manière un peu moins simple, il se ramène au « L » )
En conclusion :
