E586. Le carré noir
Un échiquier comporte 64 cases en alternance noires et blanches. A l’intérieur de cet échiquier on peut tracer le contour d’un rectangle quelconque qui repose sur les bords des cases puis inverser la couleur des cases qu’il contient. Déterminer le minimum d’opérations qui permettent de rendre l’échiquier
complètement noir.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
On peut rendre l’échiquier complètement noir avec les 8 opérations suivants (rectangles marqués en rouge sur la figure ci-dessous) :
Montrons par l’absurde qu’il est impossible d’y parvenir avec seulement 7 rectangles.
On considère les 28 cases extérieures de l’échiquier, et plus précisément les côtés communs à deux cases de couleurs différentes dans cette bordure extérieure. Dans la position initiale, on compte 28 de ces segments (en vert ci-dessous). Dans la position finale où toutes les cases extérieures sont noires, il n’y a en plus aucun.
Le contour d’un rectangle tracé sur les bords des cases de l’échiquier passe au plus sur 4 de ces segments.
Chaque opération supprime donc au plus 4 segments. Soit 7 opérations au minimum pour éliminer tous les 28 segments : le contour des 7 rectangles correspondants passant chacun par 4 segments.
Mais on remarque aussi que si le contour d’un rectangle passe par 4 segments, alors ils sont soit tous les 4 verticaux (comme sur la figure) soit tous les 4 horizontaux. On dénombre dans la position initiale 14 segments verticaux et 14 segments horizons. Or 14 n’est pas un multiple de 4. On aboutit à une contradiction. On ne peut pas passer par les 28 segments avec 7 rectangles seulement.
Il faut au minimum 8 opérations pour rendre l’échiquier entièrement noir.
