E586. Le carré noir
Un échiquier comporte 64 cases en alternance noires et blanches. A l'intérieur de cet échiquier on peut tracer le contour d'un rectangle quelconque qui repose sur les bords des cases puis inverser la couleur des cases qu'il contient. Déterminer le minimum d'opérations qui permettent de rendre l'échiquier complètement noir.
Par exemple avec une grille 3x3, quatre opérations suffisent:
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Pour la grille de la figure, deux inversions suffiraient (inverser la ligne centrale, puis la colonne centrale) ; pour le damier classique , huit inversion suffisent : on numérote les lignes de 1 à 8 et on inverse d’abord les quatre lignes d’indice pair ; ceci ramène à un damier « zébré », au sens que la couleur des colonnes passe de noir à blanc et de blanc à noir ; et il suffit alors d’inverser les quatre lignes blanches.
Pour traiter le cas général d’une grille rectangulaire on va d’abord définir une stratégie standard : ayant numéroté lignes et colonnes, on inverse toute ligne et toute colonne d’indice pair. Si l’on utilise la notation « div » pour l’opération quotient dans la division entière, cette opération demande exactement inversions ; le résultat est une grille dont toute case a la couleur de la case du coin en haut à gauche, case qui n’a jamais changé ; si cette case était blanche il faudra encore inverser la grille toute entière.
Naturellement dans beaucoup de cas l’inversion supplémentaire peut être évitée : il suffit que, parmi les cases aux quatre coins, une au moins soit noire ; dans ce cas il suffit d’effectuer une rotation du damier avant d’appliquer la stratégie standard. En particulier le seul cas où l’inversion supplémentaire est nécessaire est lorsque lignes et colonnes sont en nombre impair, et les cases de coin sont blanches.
