Enoncé E450 (Diophante) Pas de deux sur un damier
Voici un damier de dimensions 12×12 sur lequel des pions blancs et noirs ont été placés avec un pion blanc et un pion noir sur chacune des 12 rangées.
Votre adversaire est l’ordinateur qui est un parfait logicien et vous jouez à tour de rôle.
Vous déplacez les pions blancs et l’ordinateur les noirs, dans une seule rangée à la fois. Les pions vont sur n’importe quelle case libre de la rangée vers la gauche ou vers la droite, mais sans sauter par-dessus le pion adverse.
Le dernier qui bloque tous les pions de l’adversaire est le gagnant.
Vous jouez le premier. Quel est votre premier coup ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Dans la quatrième rangée à partir du haut, je déplace mon pion de 4 cases vers la gauche.
Cela m’assure le gain car ce jeu est tout à fait équivalent au jeu de Nim1 formé de 12 tas d’allumettes, chaque tas comportant autant d’allumettes que de cases libres entre les deux pions de la rangée correspondante.
On sait que la stratégie gagnante consiste à annuler la somme binaire des effectifs des tas ; la somme binaire est définie comme la somme sans retenuedes nombres d’allumettes des tas, écrits en binaire. Tout coup de l’adversaire permet de reconstituer une somme binaire nulle.
C’est clair si l’adversaire recule, car je reconstitue la position en avançant son pion d’autant ; cela permet à l’adversaire de gagner du temps, mais pas indéfiniment, car cela consomme l’espace derrière son pion. Si l’adversaire avance, il existe une possibilité d’annuler la somme binaire en avançant un de mes pions. En effet, si s est la somme binaire de t1, t2. . . , tk, il existe ti tel que la somme binaire de ti ets est ti−d < ti; le coup gagnant est de prendre ddans le tasi.
Alors l’espace entre pions se restreint et finira par s’annuler ; dès lors chaque coup de l’adversaire, suivi par ma réplique remettant les pions au contact, finira par annuler l’espace derrière ses pions, le bloquant com- plètement.
La position de l’énoncé (espaces 3,7,2,10,7,1,2,7,3,3,6,5) a 12 pour somme binaire ; la somme binaire de 10 et 12 est 6, c’est la somme binaire des rangées autres que la quatrième ; c’est en ramenant cet espace de 10 à 6 qu’on annule la somme binaire.
La somme binaire de 12 et 5 étant 9 (somme binaire des 11 premières rangées), je peux aussi m’assurer le gain en déplaçant de 4 cases vers la gauche mon pion de la rangée du bas.
1. popularisé par le filmL’année dernière à Marienbaddans la variante où il s’agit, non de prendre la dernière allumette, mais de forcer l’adversaire à la prendre.
