Exclusion mutuelle sur un arbre  Circulation d’un jeton en profondeur

(1)

Exclusion mutuelle sur un arbre

 Circulation d’un jeton en profondeur

•  Pas d’identité sauf un processeur : la racine r

r Δ_i : nombre de voisins p_i

ΔΔ_i₁ = 4 = 2

Parcours en profondeur

r

(2)

r

(3)

r

(4)

r

(5)

r

Nombre de configurations

Δ_ipointeurs × (, ) = 2 × Δ_i états/processeur + (, )

= 2 × (Δi + 1) états/processeur

⇒ 2ⁿ ×Πⁿ (Δ_i+1) configurations

Sur un arbre avec un sens d’orientation

(6)

Nombre de configurations avec sens d’orientation

Δ_ipointeurs × (, ) = 2 × Δ_i états/processeur + (, )

= 2 × Δ_i états/processeur

⇒ 2ⁿ ×Πⁿ Δ_i configurations OPTIMAL [Tchuente 81]

Définition du privilège selon Dijkstra

La possibilité pour un processeur d’exécuter une action

[Dijkstra 74]

 [Dijkstra 74] : Ordre séquentiel des actions

particulière

[Bui et al 99]

 [Bui et al. 99] : Actions concurrentes

Parcours en profondeur _r

Privilège = Le processeur reçoit le jeton pour la première fois

Parcours en profondeur r

(7)

Parcours en profondeur r Parcours en profondeur _r

(8)

r Nettoyage d’état en parallèle Parcours en profondeur

(9)

(10)

Parcours en profondeur r Parcours en profondeur _r A la première

réception du jeton : on attend !

(11)

Parcours en profondeur r Nombre de configuration

Δ_ipointeurs 

= (Δ_i+ 2) états/processeur + (, )

⇒ (Δ₁ + 1) × Πⁿ (Δ_i + 2) configurations

i=2

Sauf à la racine r (Δ_i+ 1) états

⇒ Πⁿ (Δ_i + 1) configurations avec sens d’orientation

i=1

r Auto-stabilisation

Ascendant de r Racine illégale

Racine illégale

Racine illégale Cycle

Les racines illégales se détruisent d’elles-même

(12)

(13)

(14)

Auto-stabilisation

Coût de l’auto-stabilisation sur un arbre

=

0 état par processeur

Nombre Minimum d’états par processeur

Théorème : Dans un arbre sans sens d’orientation, il faut au moins :

- Δr+1 états à la racine - ∀p feuille : Δp+1 (2) états

- ∀p non (feuille ou racine) : Δ_p+2 états