J151. Le dernier jeton
Problème proposé par Raymond Bloch
Sur un échiquier de taille illimitée 81 jetons sont placés sur chacune des cases d'un carré 9 x 9.Comme dans le casse-tête du Solitaire, le jeu consiste,à chaque coup,à faire sauter un jeton horizontalement ou verticalement au dessus d'un deuxième jeton placé dans l'une des quatre cases adjacentes et à le faire atterrir sur la case suivante à condition qu'elle soit vide. Le deuxième jeton est alors enlevé.
Le jeu peut-il se terminer avec un seul jeton sur l'échiquier?
Pour les plus courageux: même question avec 4 072 324 jetons placés sur les cases d'un carré 2018 x 2018.
Solution proposée par Raymond Bloch.
Colorions les 81 cases ainsi, en étendant la même alternance 0,1,2 à l’infini :
120120120
201201201
012012012
……….
012012012
A chaque coup, trois cases alignées 0,1,2 sont concernées : deux des cases voient disparaître un jeton, et la troisième gagne un jeton. Si N0,N1,N2 sont les nombres de jetons situés sur les cases 0,1,2 resp., initialement on a
N0=N1=N2=27 , trois nombres impairs. Donc après le premier coup joué, N0,N1,N2 seront tous les trois pairs, après le second coup joué, ils seront tous trois impairs, et ainsi de suite : les parités de N0,N1,N2 seront identiques à chaque étape.
Or l’objectif visé de terminer avec un seul jeton exigerait deux de ces nombres impairs et le troisième pair, contradiction qui prouve l’impossibilité de terminer le jeu avec un seul pion dans le cas d’un échiquier 9 x 9.
Les plus courageux montreront que pour un échiquier 2018 x 2018, comme pour tout échiquier n x n où n n’est pas multiple de 3, il est possible de terminer le jeu avec un seul pion.
Le problème généralisé a été posé en n°3 dans l’IMO 1993.
