E617 Les entiers sur un échiquier [*** à la main]
Solution
Le plus simple pour traiter ce puzzle est de commencer par un échiquier de 16 cases. De façon logique, on commence par placer les entiers dans l’ordre croissant car ce sont eux qui seront comptés le plus grand nombre de fois au fur et à mesure du remplissage de l’échiquier et on essaie de les mettre dans des cases où il y a le maximum de cases encore vides sur la même rangée et sur la même colonne. Si pour un entier k, il y a V(k) cases vides au moment où il est placé, alors cet entier sera compté V(k) fois dans les placements ultérieurs et sa contribution dans la somme totale des S(k) sera k*V(k).
La somme totale des S(k) pour k=1 à 16 est égale à la somme sur l’ensemble des entiers 1 à 16, des contributions k*V(k) de chaque entier k. D’où la formule
k 16
1 k 16
k
1 k
V(k)
* k S(k)
Le mode opératoire est le suivant :
1) On place les entiers 1,2,3,4 sur la diagonale principale car pour chacun d’eux il y a le maximum de six cases vides (3 horizontales et 3 verticales).
Par exemple pour les entiers 1 et 2, les six cases vides situées sur la même rangée et la même colonne sont coloriées en jaune:
D’où la somme partielle pour les quatre entiers 1,2,3,4: k*V(k) (1 2 3 4)*6 60
4 k
1 k
. 2) On place ensuite l’entier 5 sur la case b1, 6 en c2 et 7 en d3. Il y a 4 cases vides pour chacun d’eux (coloriage en bleu pour l’entier 5 pris comme exemple). L’entier 8 est mis en a1 qui est la seule case restante avec également 4 cases vides.
D’où la somme partielle pour les quatre entiers 5,6,7,8 :
8 k
5 k
V(k)
*
k = (5+6+7+8)*4 = 104 3) Le remplissage des huit dernières cases se fait très simplement : 9 en c1, 10 en d2, 11 en a3 et 12 en b1 avec 2 cases vides pour chacun de ces quatre nombres. Les quatre nombres restants 13,14,15 et 16 sont placés en d1,a2,b3 et c4 sans case vide pour chacun d’eux.
D’où la somme partielle pour ces huit entiers :
16 k
9 k
V(k)
*
k =(9+10+11+12)*2 = 84 et la somme totale
k 16
1 k 16
k
1 k
V(k)
* k
S(k) = 248 correspondant à la grille finale :
Le remplissage de l’échiquier obéit aux mêmes règles. On place dans l’ordre les entiers 1,2,…,64 en recherchant chaque fois le maximum de cases vides situées sur la même rangée et la même colonne que le nombre considéré.
D’où les tableaux récapitulatifs ci-après qui pour chaque entier k donnent les coordonnées de la case où il est placé et le nombre de cases vides V(k) situées sur la même rangée et la même colonne que lui.
1 1 entier k position V(k) k*V(k) 1 1 9 17 entier k position V(k) k*V(k)
2 2 1 a1 14 14 2 2 10 18 17 c1 10 170
3 3 2 b2 14 28 3 3 11 19 18 d2 10 180
4 4 3 c3 14 42 4 4 12 20 19 e3 10 190
5 5 4 d4 14 56 5 5 13 21 20 f4 10 200
6 6 5 e5 14 70 6 6 14 22 21 g5 10 210
7 7 6 f6 14 84 7 23 7 15 22 h6 10 220
8 8 7 g7 14 98 8 16 24 8 23 a7 10 230
a b c d e f g h 8 h8 14 112 a b c d e f g h 24 b8 10 240
9 b1 12 108 25 d1 8 200
1 1 9 10 c2 12 120 1 1 9 17 25 26 e2 8 208
2 2 10 11 d3 12 132 2 2 10 18 26 27 f3 8 216
3 3 11 12 e4 12 144 3 3 11 19 27 28 g4 8 224
4 4 12 13 f5 12 156 4 4 12 20 28 29 h5 8 232
5 5 13 14 g6 12 168 5 5 13 21 29 30 a6 8 240
6 6 14 15 h7 12 180 6 30 6 14 22 31 b7 8 248
7 7 15 16 a8 12 192 7 23 31 7 15 32 c8 8 256
8 16 8 8 16 24 32 8
a b c d e f g h a b c d e f g h
La grille complète figure ci-dessus à droite. La somme des S(k) est de 9184.
1 1 9 17 25 33 entier k position V(k) k*V(k) 1 1 9 17 25 33 41 49 entier k position V(k) k*V(k)
2 2 10 18 26 34 33 e1 6 198 2 2 10 18 26 34 42 50 49 g1 2 98
3 3 11 19 27 35 34 f2 6 204 3 51 3 11 19 27 35 43 50 h2 2 100
4 4 12 20 28 36 35 g3 6 210 4 44 52 4 12 20 28 36 51 a3 2 102
5 37 5 13 21 29 36 h4 6 216 5 37 45 53 5 13 21 29 52 b4 2 104
6 30 38 6 14 22 37 a5 6 222 6 30 38 46 54 6 14 22 53 c5 2 106
7 23 31 39 7 15 38 b6 6 228 7 23 31 39 47 55 7 15 54 d6 2 108
8 16 24 32 40 8 39 c7 6 234 8 16 24 32 40 48 56 8 55 e7 2 110
a b c d e f g h 40 d8 6 240 a b c d e f g h 56 f8 2 112
41 f1 4 164 57 f1 0 0
1 1 9 17 25 33 41 42 g2 4 168 1 1 9 17 25 33 41 49 57 58 g2 0 0
2 2 10 18 26 34 42 43 h3 4 172 2 58 2 10 18 26 34 42 50 59 h3 0 0
3 3 11 19 27 35 43 44 a4 4 176 3 51 59 3 11 19 27 35 43 60 a4 0 0
4 44 4 12 20 28 36 45 b5 4 180 4 44 52 60 4 12 20 28 36 61 b5 0 0
5 37 45 5 13 21 29 46 c6 4 184 5 37 45 53 61 5 13 21 29 62 c6 0 0
6 30 38 46 6 14 22 47 d7 4 188 6 30 38 46 54 62 6 14 22 63 d7 0 0
7 23 31 39 47 7 15 48 e8 4 192 7 23 31 39 47 55 63 7 15 64 e8 0 0
8 16 24 32 40 48 8 8 16 24 32 40 48 56 64 8
a b c d e f g h a b c d e f g h Total des S(k)= 9184
