. Problème proposé par Raymond Bloch
Trouver (en moins de trois minutes chronomètre en main) l'entier de la case (?) du coin supérieur de l’échiquier ci-contre de sorte que les entiers qui y figurent forment des progressions
arithmétiques dans chaque ligne et dans chaque colonne.
La différence de deux progressions arithmétiques étant encore une progression arithmétique, on en déduit que les raisons des progressions des cases horizontales (resp. verticales) forment elles même des progressions arithmétiques.
Soit x le contenu de la première case, hi la raison de la progression de la ligne i (h1=h), vj celle de la colonne j (v1=v), r la raison de la progression des hi et s celle des vj.
Nous avons x+(i-1)v+(j-1)hi=x+(j-1)h+(i-1)vj avec hi-h=r(i-1) et vj-v=s(j-1) ; donc s=r, et le contenu de la case (i, j) est x+(i-1)v+(j-1)h+r(i-1)(j-1).
On a donc :
x+7h+v+7r=9 ; x+6h+4v+24r=139 ; x+5h+ 6v+30r=108 ; x+2h+7v+14r=50 Soit h=3v+17r-130=2v+6r+31, donc v=161-11r et 3h=v-16r+58=219-27r, soit h=73-9r=353-16r ce qui donne r=40. Donc h=-287, v=-279 et x=2017.
