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3) Trouver tous les entiers dont au moins un multiple est équilibré

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Academic year: 2022

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Enoncé A330 (Diophante) Questions d’équilibre

Un entier est dit “équilibré” si parmi deux chiffres consécutifs quelconques de sa représentation décimale l’un est pair et l’autre est impair. Par exemple 187830 est un entier équilibré.

A contrario, un entier est dit “déséquilibré” s’il existe au moins deux chiffres consécutifs de sa représentation décimale qui ont la même parité, par exemple 887831.

1) Trouver le plus petit multiple de 2011 qui est équilibré.

2) Trouver l’entier le plus proche de 2011 dont tous les multiples sont dés- équilibrés.

3) Trouver tous les entiers dont au moins un multiple est équilibré.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

1) Si le multiplicateur est inférieur à 10, le produit aura le même chiffre pour les unités et les dizaines ; le multiplicateur doit être au moins 11 pour que ces chiffres soient différents, et 12, 14, 16, . . ., donnent des chiffres de même parité pour les dizaines et les centaines. 11, 13, 15 donnent respec- tivement 22121, 26143, 30165. Ce dernier est le premier équilibré.

2) Je note qu’aucun multiple de 20 ne peut être équilibré : tous ont un chiffre pair tant comme chiffre des unités que comme chiffre des dizaines.

Les multiples de 20 encadrant 2011 sont 2000 et 2020, ainsi 2020 est un bon candidat pour l’entier le plus proche de 2011 dont aucun multiple n’est équilibré.

Pour le confirmer, une voie serait de construire comme à la question 1 des multiples équilibrés des entiers 2002 à 2019 ; je préfère anticiper sur la 3e question, où je montre que tous les entiers sauf les multiples de 20 admettent un multiple équilibré.

3) Différents cas sont à considérer pour la construction d’un multiple équi- libré.

3.1) Soit un entierp premier avec 10 (son chiffre des unités est 1, 3, 7 ou 9). Il admet un multiple où les chiffres 0 et 1 alternent. En effet, selon la généralisation du petit théorème de Fermat par Euler, si f = ϕ(99p) (ϕ fonction indicatrice d’Euler), 10f−1 = 0 (mod 99p) et (10f−1)/99 =Ap est le multiple équilibré annoncé.

3.2) Soit q = 5c une puissance de 5. Son chiffre des unités est impair ; je corrige, en partant de la droite, les chiffres qui ne respecteraient pas l’alternance, en ajoutantq multiplié par la puissance de 10 correspondant au chiffre à corriger. Exemple avec c = 4, q = 625 : 2 a la bonne parité, 6 non, je forme q + 100q = 63125 ; 3 n’a pas la bonne parité, j’ajoute 1000q pour obtenir 688125 ; enfin, comme 10cest multiple deq, je peux ne garder que lesc derniers chiffres pour obtenir un multiple équilibré (dans cet exemple, 8125 = 13·54).

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3.3) Si q = 2·5c,q a 0 comme chiffre des unités, et un chiffre impair (5 si c >1) comme chiffre des dizaines. On peut former comme ci-dessus un multiple équilibré à c−1 chiffres de 5c−1 et écrire un 0 à sa droite.

3.4) Soit q= 2cune puissance de 2. Son chiffre des unités est pair, comme celui de tous ses multiples. Pour corriger la parité des chiffres qui ne res- pecteraient pas l’alternance, je vais ajouter à q le produit de q par une puissance de 10 telle que le chiffre des unités de q s’ajoute au chiffre à droite du chiffre à corriger en poursuivant, si le chiffre des dizaines est pair, jusqu’à obtenir une retenue. Exemple avec c = 10, q = 1024 ; 2 n’a pas la bonne parité, en ajoutantqj’obtiens 2048, encore non équilibré, puis 3072 qui est équilibré. Comme pour les puissances de 5, 10cest multiple de q et on peut donc trouver un multiple équilibré decchiffres au maximum.

3.5) Tout entiernpeut s’écrire comme produitp·q, avecppremier avec 10 etq diviseur d’une puissance de 10. Je suppose ici queq n’est pas multiple de 20.

Pour construire un multiple équilibré de n, je commence par construire un multiple équilibré de q, en prenant soin qu’il ait un nombre pair de chiffres. Ainsi, si n= 1024p, j’obtiens 3072 comme multiple de q, puis un multiple depde la formeAp= 100010001. . .10001 = (10f−1)/9999, avec f = ϕ(9999p). Alors 30723072. . .3072 = 3072Ap = 3An est un multiple équilibré de n.

Si n = 256p, q = 256 = 28 est équilibré, mais pas avec un nombre pair de chiffres : il faut considérer 0256 où 0 n’a pas la bonne parité. Ajoutant 25600 j’obtiens 25856, puis de même 2585856, 258585856 et enfin, puisque 256 est diviseur de 108, 58585856 = 256·228851, multiple équilibré à 8 chiffres.

Reste à former f = ϕ(p(108−1)), puis 58585856(10f −1)/(108 −1) qui est multiple équilibré de n.

Bien entendu, il peut exister des multiples équilibrés plus petits que ceux obtenus par ces procédés : la première question en a donné un exemple.

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