J142 ‒ Progressions sur un damier
Problème proposé par Raymond Bloch
Solution proposée par Bernard Vignes.
Trouver (en moins de trois minutes chronomètre en main) l'entier de la case (?) du coin supérieur du damier ci-contre de sorte que les entiers qui y figurent forment des progressions arithmétiques dans chaque ligne et dans chaque colonne.
En adoptant la notation traditionnelle des cases d'un jeu d'échecs et en posant r = raison de la progression arithmétique de la 8ème rangée, on a 50 + r en case d1, 50 + 3r en case f1 et 50 + 5r en case h1.
On en déduit la raison de la colonne f = 50 + 3r ‒ 108 = 3r ‒ 58 d'où 224 ‒ 6r en case f4.
D'où la raison 139 ‒ 224 + 6r = 6r ‒ 85 de la 4ème rangée et 139 + 6r ‒ 85 = 54 + 6r en case h4.
La case h4 est à mi-chemin entre la case h1 et la case h7.
D'où l'équation 9 + 50 + 5r = 2(54 + 6r), ce qui donne 7r = ‒ 49 soit: r = ‒ 7.
D'où les valeurs successives :f1: 29, h1 : 15, h8 : 8, f8 : 29 + 7*79 = 582 et a8 = 8 + 7*(582 ‒ 8)/2 = 2017
