J10084. Trois coups au moins
Sur un ´echiquier, 17 cases sont marqu´ees. Montrer qu’on peut en choisir deux de sorte qu’un cavalier ait besoin d’au moins 3 coups pour aller de l’une `a l’autre.
Solution
Si les cases marqu´ees ne sont pas toutes de la mˆeme couleur, il y en a au moins 9 de la couleur majoritaire ; depuis une case de la couleur minoritaire, les cases de l’autre couleur sont accessibles en un nombre impair de coups, car chaque pas cause un changement de couleur, mais au plus 8 cases sont accessibles en un seul coup ; d’o`u une paire de cases de couleurs oppos´ees, non reliables en moins de 3 coups.
Supposons maintenant les cases marqu´ees toutes de la mˆeme couleur ; on passe de l’une `a l’autre en un nombre pair de coups, mais en deux coups on se d´eplace d’au plus 4 rang´ees ou 4 colonnes. Or un carr´e de 5×5 cases contient au plus 13 cases de la mˆeme couleur ; un rectangle contenant les 17 cases a des rang´ees extrˆemes ou des colonnes extrˆemes trop ´eloign´ees.
N.B. Le nombre 17 peut ˆetre ramen´e `a 10. Avec 9 cases marqu´ees de mˆeme couleur dans un carr´e de 5×5 cases, il y a une paire de cases (distantes de 2 rang´ees et 2 colonnes) non reliables en deux coups. D`es qu’il y a deux cases marqu´ees d’une couleur et 3 cases marqu´ees de l’autre, une des paires demande plus de deux coups. C’est seulement en marquant une case d’une couleur et les cases (au plus 8) qu’elle menace directement que toute paire peut ˆetre reli´ee en moins de trois coups avec 9 cases marqu´ees.
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