Super-cavalier (3,8) se déplace sur un échiquier de dimensions infinies de 3 cases horizontalement ou verticalement puis de 8 cases dans une direction perpendiculaire à la direction qu’il vient de prendre.
Démontrer qu’il peut toujours aller de sa case de départ à une case adjacente ( i.e. partageant un côté commun). Trouver le nombre minimum de déplacements.
Pour les plus courageux : trouver tous les couples d’entiers (a,b) tels que le super-cavalier (a,b) peut toujours aller de sa case de départ à une case adjacente.
Avec pour origine la case de départ et des axes horizontaux et verticaux, la case d’arrivée est alors par exemple (0,1), les mouvements du cavalier sont commutatifs, et nous noterons p, q, r, s les nombres (relatifs) de mouvements de chacun des quatre types possibles, respectivement (3, 8), (3,-8), (8, 3), (8,-3) ; alors
3(p+q)+8(r+s)=0, 8(p-q)+3(r-s)=1 : donc il existe deux entiers h et k tels que p+q=8h, r+s=-3h ; p-q=3k-1, r-s=3-8k
2p=8h+3k-1, 2q=8h-3k+1, 2r=3-3h-8k, 2s=-3h+8k-3
Pour h=k=1 : p=5, q=3, r=-4, s=1 soit un minimum de 13 coups.
Plus généralement, l’équation a(p+q)+b(r+s)=0 est toujours soluble, et l’équation b(p-q)+a(r-s)=1 est soluble si et seulement si a et b sont premiers entre eux : alors, il existe u et v tels que au-bv=1, et pour tout h et k entiers, p+q=bh, r+s=-ah, p-q=ak-v, r-s=u-bk ; soit 2p=bh+ak-v, 2q=bh-ak+v, 2r=u-ah-bk, 2s=-ah+bk-u ; a et b sont de parité différente, de même que u et v : ce qui permet de déterminer les parités de h et k pour obtenir des valeurs entières de p, q, r, s.
