G 239. Le périple du cavalier.
Un cavalier d’un jeu d’échecs est placé initialement sur une quelconque case d’un échiquier n x n avec n très grand. Il effectue un périple en se déplaçant en L, c’est-à-dire de deux cases dans une direction puis d'une perpendiculairement. Lorsque le cavalier effectue son kème déplacement (k = 0, 1, 2,..), chaque L comptant pour un déplacement, on repère toutes les cases, en nombre nk, qu’il est susceptible d’atteindre, exclusivement au cours de ce kème déplacement.
Ainsi n1 = 1 ( la case de départ) et n2 = 8 (qui exclut la case de départ).
Après un petit nombre de déplacements, on constate que pour la première fois nk est un carré parfait. Trouver k [**].
Le cavalier poursuit son périple. Existe-t-il une autre valeur de k telle que nk est à nouveau un carré parfait ? [****]
Solution proposée par Michel Lafond On compte à la main :
n1 = 1, n2 = 8, n3 = 33, n4 = 76, n5 = 129, n6 = 196 qui est pour la première fois un carré parfait.
4 4 4 4
4 4 4 4 4
4 4 3 4 3 4 3 4 4 3 3 3
4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 3 3 3 3
4 3 4 4 3 4 4 3 4 3 2 3 2 3
4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 3 2 3 3 2 3
4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 3 3 3
4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 3 2 3 3 2 3
4 3 4 4 3 4 4 3 4 3 2 3 2 3
4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 3 3 3 3
4 4 3 4 3 4 3 4 4 3 3 3
4 4 4 4 4
4 4 4 4
A partir de n4, la situation se régularise, l’octogone des emplacements est « plein » et ne fait qu’augmenter régulièrement de taille.
A partir de k = 4, La croissance de l’effectif est donc quadratique et la connaissance de n4 = 76, n5 = 129, n6 = 196 suffit pour trouver l’expression générale :
à partir de k = 4 ; nk = 7 k2 – 10 k + 4.
On aura = 7 k2 – 10 k + 4 = Y2 si et seulement si 7 (7 k2 – 10 k + 4) = 7 Y2 ou encore : (7 k – 5)2 + 3 = 7 Y2 c’est-à-dire en posant X = 7 k – 5 : X2 + 3 = 7 Y2
Cette équation classique a une infinité de solutions, les premières étant :
X = 2 ; Y = 1 ce qui donne k = (X + 5) / 7 = 1 éliminé car inférieur à 4, X = 37 ; Y = 14 ce qui donne k = 6 (valeur déjà rencontrée au début),
X = 590 ; Y = 223 ce qui donne k = 85 [n85 = 2232 carré parfait pour la deuxième fois]
X = 9403 ; Y = 3554 ce qui donne k = 1344 etc.
Plus généralement, nk est un carré parfait pour k = i entier positif quelconque.
