D20543. Du triangle au pentagone
Dans le triangle équilatéral ABC, les côtés BC, CA, AB ont pour milieux respectifs D, E, F. La demi-droite EF coupe en G le cercle circonscrit au triangle. On construit le pentagone régulier F GHIJ dont le segment F G est l’un des côtés. Montrez queE, I, J sont alignés.
Solution
SoitGG0 la corde interceptée par le cercle sur la droiteEF; la droiteADest axe de symétrie pour cette corde de même que pour le segmentEF. Ainsi GE = F G0, et la puissance de F par rapport au cercle est −F G.F G0 =
−F G.GE =−F A.F B=−F E2.
EF/F G= EG/EF : F partage GE en moyenne et extrême raison. Cette division selon le nombre d’or est une propriété connue du pentagone régulier.
En effet, si IJ coupe la droite EF en K, l’étude des angles montre que sont isocèles les trianglesKF J,F GJ etJ GK, ces deux derniers semblables entre eux. Ainsi KF/F G = KJ/F G = J G/F G = KG/KJ = KG/KF, montrant queK est confondu avecE.
