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P₄ Les points A,B,E et N sont cocycliques P₅ Les triangles NCE et NED sont semblables P₆ La droite [EN] est la symédiane issue de E dans le triangle CED

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

D1881 – A votre convenance [*** à la main]

Deux cercles (Γ₁) et (Γ₂) se coupent aux points M et N. On trace la tangente commune [AB] à ces deux cercles qui est la plus proche du point M avec A sur ( Γ₁) et B sur (Γ₂ ). La parallèle à la droite [AB] passant par M rencontre (Γ₁) en un deuxième point C et (Γ₂) en un deuxième point D. Les droites [AC] et [BD] se rencontrent au point E tandis que la droite [CD] rencontre la droite [AN] au point P et la droite [BN] au point Q.

Démontrez dans un ordre quelconque à votre convenance tout ou partie des propriétés suivantes : P₁ EP = EQ

P₂ CD = 2AB.

P₃ La droite [EN] est bissectrice de l’angle CND.

P₄ Les points A,B,E et N sont cocycliques P₅ Les triangles NCE et NED sont semblables

P₆ La droite [EN] est la symédiane issue de E dans le triangle CED.

Nota : une seule de ces propriétés a fait l’objet d’un problème lors d’une récente olympiade internationale de mathématiques.

Solution proposée par Jean Nicot

P2- Soit M’ l’intersection de CD et de la parallèle à AC passant par B. Le parallélogramme CABM’

indique CA=M’B et AB=CM’ .On a aussi égalité des angles M’CA=BAE=ABM’=BM’D Les triangles ABE et M’AC avec deux côtés égaux ainsi que leur angle sont respectivement égaux. On voit aussi que les triangles ABM’ et ABE sont égaux, de même que les triangles ABE et M’DB. Il en résulte que AM’ est parallèle à ED ; le parallélogramme AEBM’ donne AE= BM’ ; A est le milieu de CE, B est le milieu de ED et M’ est le milieu de CD. Donc CD=2AB

P1- Soit H le milieu de AB, qui est aussi sur la médiane EM’. La droite NH coupe donc PQ en son milieu puisque les triangles EPD et EAB sont semblables. H a la même puissance par rapport aux 2 cercles Γ1 et Γ2 ; il est sur l’axe radical MN et M est le milieu de PQ. A est sur la médiatrice de CM et CA=AM égal à AE. Le cercle de centre A de diamètre CE passe par M donc EM est perpendiculaire à CM. Les triangles rectangles EMP et EMQ sont donc égaux et EP=EQ.

P4- Les angles EAB=ACM =ANM et les angles EBA=BDM=BNM l’angle ANB est l’angle supplémentaire de AEB E est donc sur le cercle ABN. Les points A B E N sont cocycliques.

P3- On a les égalités des angles NCA=NAB (sur arc AB de G1) =NEB (sur arc NB de G0) NDB=NBA (sur arc NB de G2) =NEA sur arc AN de G0)

Commentaire [JN1]: A est donc le milieu de BE et M’ st le milieu de On a 3 parallélogrammes

(2)

Dans les triangles NCE et NED, on a donc égalité des troisièmes angles CNE et DNE EN est la bissectrice de l’angle CND

P5- On a vu l’égalité des angles NCE=NED ; CEN=EDN ; CNE=END.

Les triangles CEN et EDN sont semblables.

P6- HO recoupe e cercle ABN en b près de N. Lesrc Ab et bB sont égaux et Eb est la bissectrice de AEB. Il reste à montrer que la bissectrice Eb est aussi la bissectrice de l’angle M’EN ou encore que les angles M’EA et NEB=NAB sont égaux. M’EA=EM’B (AE//BM)

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