D1881. A votre convenance MB
Deux cercles (Γ1) et (Γ2) se coupent aux points M et N. On trace la tangente commune [AB] à ces deux cercles qui est la plus proche du point M avec A sur ( Γ1) et B sur (Γ2 ). La parallèle à la droite [AB] passant par M rencontre (Γ1) en un deuxième point C et (Γ2) en un deuxième point D. Les droites [AC] et [BD] se rencontrent au point E tandis que la droite [CD] rencontre la droite [AN] au point P et la droite [BN] au point Q.
Démontrez dans un ordre quelconque à votre convenance tout ou partie des propriétés suivantes : P1 : EP = EQ
P2 : CD = 2AB.
P3 : La droite [EN] est bissectrice de l’angle CND.
P4 : Les points A,B,E et N sont cocycliques P5 : Les triangles NCE et NED sont semblables
P6 : La droite [EN] est la symédiane issue de E dans le triangle CED.
P2 : Si A et B se projettent en H et K sur CD, HK = AB, CH =HM et MK = KD, CD = CH+HM+MK+KD = 2HM+2MK = 2HK = 2AB CD = 2AB
P4 : Egalités d'angles : DCE =MNA car ils interceptent le même arc MA de (Γ1) CDE =MNB car ils interceptent le même arc MB de (Γ2)
DCE + CDE = ANB, or dans le triangle CED, DCE+CDE = 180°– AEB, donc ANB = 180°– AEB Les points A,B,E et N sont cocycliques
P1 : CD//AB et CD = 2AB, les triangles EAB et ECD sont homothétiques (rapport 2),
A est milieu de CE . Et comme H est milieu de CM, (ME)=2⃗ (HA)⃗ en particulier ME est perpendiculaire à AB. L'axe radical NM coupe AB en son milieu, qui, dans l'homothétie de centre N de rapport NP/NA = NQ/NB a pour image M. Ce point M est donc milieu de PQ. Donc ME est médiatrice de PQ et EP = EQ.
P5: Les angles AEN et ABN inscrits dans le cercle ABEN sont égaux.
Les angles ABN et BDN interceptent l'arc BN de (Γ2) et sont égaux.
Mais AEN= CEN et BDN= EDN donc les angles CEN et EDN sont égaux.
De même ECN = ACN = BAN car interceptant le même arc AN de (Γ1)
et BAN = BEN car interceptant le même arc BN du cercle ABEN. Puis BEN = DEN.
Donc les angles ECN et DEN sont égaux.
De CEN = EDN et ECN = DEN on déduit que Les triangles NCE et NED sont semblables .
P3 : CNE = 180° – (CNE+ECN) = 180°– (EDN+DEN) = DNE
CNE = DNE donc la droite [EN] est bissectrice de l’angle CND .
P6 : Les triangles NCE et NED sont semblables, ND NE=NE
NC=DE
CE , (ND∗NE) (NE∗NC)=(DE
CE)
2
donc ND/NC = (ED/EC)²
Dans le triangle CND, la bissectrice NE coupe CD en un point J tel que JD/JC = ND/NC.
Dans le triangle CED, JD/JC = ED²/EC² . Cela prouve que EJ est la symédiane issue de E.
La droite [EN] est la symédiane issue de E dans le triangle CED
