Enonc´e noE332 (Diophante)
Le petit-fils donne la cl´e de la solution
Diophante `a Hippolyte : « J’ai trois petits-neveux dont les ˆages sont des entiers distincts. Le produit de leurs ˆages calcul´e il y a un an divise le produit de leurs ˆages actuels diminu´e d’une unit´e. Peux-tu me donner leurs trois ˆages ?»
H : Le probl`eme est ind´etermin´e.
D : Il ne l’est plus si je te dis que le plus jeune d’entre eux est plus ˆag´e que mon dernier petit-fils.
H. Effectivement, je sais maintenant r´epondre.
Quels sont les ˆages exprim´es sous forme de nombres entiers des trois petits- neveux et du petit-fils de Diophante.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soient a < b < c les ˆages (entiers) des petits-neveux.
abc−1 =k(a−1)(b−1)(c−1) avec k entier.
abc−1−(a−1)(b−1)(c−1) = (a−1)b+ (b−1)c+ (c−1)a >0, ce qui garantit k >1 et donck≥2.
2≤k= abc−1
(a−1)(b−1)(c−1) < abc
(a−1)(b−1)(c−1) = a a−1
b b−1
c c−1
≤ a a−1
a+ 1 a
a+ 2
a+ 1 = a+ 2
a−1 = 1 + 3 a−1 car a+ 1≤b≤c−1 entraˆıne
b/(b−1)≤(a+ 1)/a,c/(c−1)≤(a+ 2)/(a+ 1).
On en tire a−1<3, donc a= 2 oua= 3.
Cas a= 2
Alors 2bc−1 =k(b−1)(c−1), b≥3,c≥4,
2bc−1−2(b−1)(c−1) = 2(b−3 +c−4) + 11> 0, ce qui montre que k >2, k≥3.
3≤k= 2bc−1
(b−1)(c−1) < 2bc
(b−1)(c−1) = 2 b b−1
c
c−1 ≤2 b b−1
b+ 1 b
= 2b+ 1
b−1 = 2 + 4 b−1 carb≤c−1 entraˆıne c/(c−1)≤(b+ 1)/b.
Ainsib−1<4. Les valeurs possibles pourbsont 3 et 4, dans les deux cas k= 3, d’o`u
2bc−1 = 3(b−1)(c−1), ce qui donne (b−3)(c−3) = 5, et finalement a= 2,b= 4,c= 8.
Cas a= 3
Alors 3bc−1 = 2k(b−1)(c−1),b≥4,c≥5,
3bc−1−2(b−1)(c−1) =bc+ 2b+ 2c−1>0, donck >1.
2≤k= 3bc−1
2(b−1)(c−1) < 3bc
2(b−1)(c−1) = 3 2
b b−1
c c−1 ≤ 3
2 4 3
5 4 = 5
2 etk= 2.
3bc−1 = 4(b−1)(c−1), ce qui donne (b−4)(c−4) = 11, et finalement a= 3,b= 5,c= 15.
Puisque le triplet (a, b, c) peut ˆetre (2,4,8) ou (3,5,15), Hippolyte est fond´e `a dire que le probl`eme est ind´etermin´e.
Si l’ind´etermination est lev´ee par la pr´ecision de Diophante sur l’ˆagedde son petit-fils, c’est que d < a est vrai pour le “bon” triplet et faux pour l’autre. Commeapeut valoir 2 ou 3, Hippolyte peut conclure que
d= 2,a= 3, b= 5, c= 15.
1
