E332 : Le petit-fils donne la clé de la solution
Diophante à Hippolyte : « J’ai trois petits-neveux dont les âges sont des entiers distincts. Le produit de leurs âges calculé il y a un an divise le produit de leurs âges actuels diminué d’une unité. Peux-tu me donner leurs trois âges ? »
H : Le problème est indéterminé.
D : Il ne l’est plus si je te dis que le plus jeune d’entre eux est plus âgé que mon dernier petit-fils.
H. Effectivement, je sais maintenant répondre.
Quels sont les âges exprimés sous forme de nombres entiers des trois petits-neveux et du petit-fils de Diophante.
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Si a>b>c étaient les âges des neveux l’an dernier, il existe k tel que :
(a+1)(b+1)(c+1)-1=kabc avec k entier ; k=1+(a+b+c+bc+ca+ab)/abc>1 donc k≥2.
Or k<(a+1)(b+1)(c+1)/abc=(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c), fonction décroissante de a, b et c.
Comme pour c≥3, donc b≥4 et a≥5, (a+1)(b+1)(c+1)/abc≤(6*5*4)/(5*4*3)=2, ce qui entraînerait k<2, on doit avoir c≤2.
Pour c=1, b≥2 et a≥3, et k=2+(2a+2b+1)/ab=2+(2/a+2/b+1/ab), ce qui suppose a et b impairs, donc b≥3 et a≥5 : 2/a+2/b+1/ab≤2/3+2/5+1/15=17/15 donc 2/a+2/b+1/ab=1, soit ab=2a+2b+1 ou (a-2)(b-2)=5, donc b-2=1 et a-2=5 soit b=3 et a=7.
Pour c=2, b≥3 et a≥4, et k-1=1/2+3/2a+3/2b+1/ab≤1/2+3/8+1/2+1/12<2 donc 1/2+3/2a+3/2b+1/ab=1 ou ab-3a-3b-2=0 soit (a-3)(b-3)=11 d’où b=4 et a=14.
Les deux solutions possibles pour les âges actuels sont donc (15, 5, 3) et (8, 4, 2) ; il sera possible de trancher entre ces deux possibilités si le petit-fils de Diophante a 2 ans, auquel cas les neveux ont 15, 5 et 3 ans.
