Pbl.E332 Le petit-fils donne la cl´e de la solution
Diophante `a Hippolyte : J’ai trois petits-neveux dont les ˆages sont des entiers distincts. Le produit de leurs ˆages calcul´e il y a un an divise le produit de leurs ˆages actuels diminu´e d’une unit´e. Peux-tu me donner leurs trois ˆages ?
H : Le probl`eme est ind´etermin´e.
D : Il ne l’est plus si je te dis que le plus jeune d’entre eux est plus ˆag´e que mon dernier petit-fils.
H. Effectivement, je sais maintenant r´epondre.
Quels sont les ˆages exprim´es sous forme de nombres entiers des trois petits- neveux et du petit-fils de Diophante.
SOLUTION
1 Pr´ eliminaires
Si a, b, csont les ˆages des neveux ´evalu´es l’an dernier, on doit ´etudier : a∙b∙c| (a+ 1)∙(b+ 1)∙(c+ 1)−1
qui, supprimant le termea∙b∙cdans le membre de gauche, devient :
a∙b∙c|b∙c+ (a+ 1)∙(b+c) +a (1)
`a traiter sous l’hypoth`ese :
0< a < b < c . (2)
On remarquera que la restrictiona >0 n’est pas donn´ee par Diophante, mais le casa= 0 est ´evidemment impossible ; le lemme suivant montre qu’on peut se borner `a traiter les casa= 1 eta= 2 :
Lemme Pour touta≥3, tout b≥4 et toutc≥5 on a : b∙c+ (a+ 1)∙(b+c) +a < a∙b∙c .
En particulier le probl`eme{(1),(2)} n’a pas de solutions aveca≥3.
Preuve On pose
F(a, b, c) :=a∙b∙c−1− b∙c+ (a+ 1)∙(b+c) +a et on remarque que :
Fa(a, b, c) = (b−1)∙(c−1)−2 F(3, b, c) = (b−2)∙(c−2)−6.
Dans le rang admis pour les valeurs dea , b et c, on a doncF(a, b, c)≥0 ;c’est
`a direb∙c+ (a+ 1)∙(b+c) +a < a∙b∙c
1
2 Deux solutions
On va maintenant traiter les casa= 1 eta= 2 ; la discussion sera bas´ee sur la remarque (triviale !) que pour toutU, V positifs, on a :
n
U|V , V <2Uo
⇐⇒n
U =Vo
2.1 Le cas a = 1
La relation (1) devient :
b∙c|b∙c+ 2∙(b+c) + 1
mais dans le membre de gauche on peut supprimer le termeb∙c; on doit donc
´etudier :
b∙c|2(b+c) + 1 sous l’hypoth`ese (2) qui donne :
2(b+c) + 1≥2(2 + 3) + 1<12 = 2b∙c ) et donc, d’apr`es la remarque triviale, le probl`eme ´equivaut `a :
b∙c = 2∙(b+c) + 1 se qui s’´ecrit aussi :
(b−2)∙(c−2) = 5 ; d’o`u ´evidemmentb= 3, c= 7.
2.2 Le cas a = 2
La relation (1) donne maintenant :
2b∙c|b∙c+ 3∙(b+c) + 2
et (puisque 3∙(b+c) + 2 < 3∙b∙c) la remarque triviale entraˆıne qu’on doit avoir :
2 b∙c = b∙c+ 3∙(b+c) + 2 qu’on peut aussi ´ecrire :
(b−3)∙(c−3) = 11 et doncb= 4, c= 14.
2
3 Conclusion
On vient de contrˆoler que Hippolyte a bien raison de d´eclarer le probl`eme ind´etermin´e. Par ailleurs un renseignement suppl´ementaire du type
il existedtel quea > d
exclˆut la valeura= 1 si et seulement si d≥1 ; tandis que la valeura= 2 reste admise si et seulement sid <2 .Il faut donc avoird= 1 et, revenant aux ˆages actuelles, Hippolyte peut (et nous pouvons avec lui) conclˆure que :
Le dernier petit-fils et les trois petits-neveux de Diophante ont respectivement 2, 3, 5 et 15 ans.
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