E332. Le petit-fils donne la clé de la solution
Diophante à Hippolyte : « J'ai trois petits-neveux dont les âges sont des entiers distincts. Le produit de leurs âges calculé il y a un an divise le produit de leurs âges actuels diminué d'une unité. Peux-tu me donner leurs trois âges ? » H : Le problème est indéterminé.
D : Il ne l'est plus si je te dis que le plus jeune d'entre eux est plus âgé que mon dernier petit-fils.
H : Effectivement, je sais maintenant répondre.
Quels sont les âges exprimés sous forme de nombres entiers des trois petits-neveux et du petit-fils de Diophante.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Notons , , les âges des trois petits-neveux de Diophante calculés il y a un an, avec 0 . D’après l’hypothèse, on sait que :
1 1 1 1
En supposant 0, on obtient immédiatement 0, ce qui contredit . En supposant " 0, l’équation équivaut à :
1 (1)
k 1 $
%$
&$
' $
%& $
&' $
'% (2)
On remarque que nécessairement " 1.
En supposant 1, les équations 1 et 2 impliquent respectivement : 2 2 1 " 0 , " 2
1 1 $
-$
.$
-$
.$
/ 4 Soit finalement 3. L’équation 1 devient alors :
2 1 2 2 5
3, 7
En supposant 2, les équations 1 et 2 impliquent respectivement : 2 3 3 2 " 0 , ".
-
1 $
-$
.$
4$
/$
5 $
$- 3 Soit finalement 2. L’équation 1 devient alors :
3 2 3 3 11
4, 14 En supposant 6 3, l’équation 2 implique 1 $
.$
4$
8 $
$- $
$8 $
-9 2, qui contredit " 1.
Le problème est bien indéterminé : les petits-neveux peuvent avoir 2, 4 et 8 ans, ou 3,5 et 15 ans.
Puisque Diophante affirme que le problème n’est plus indéterminé grâce au nouvel indice, c’est donc que nécessairement, son dernson dernson dernson dernier petitier petitier petit----fils a 2 ans, et ses petitsier petitfils a 2 ans, et ses petitsfils a 2 ans, et ses petitsfils a 2 ans, et ses petits----neveux 3,5 et 15 ansneveux 3,5 et 15 ansneveux 3,5 et 15 ansneveux 3,5 et 15 ans.
