Universit´e Bordeaux1 L2 S3, MA3002
Devoir Maison 1, `a rendre semaine 41
Exercice 1. On travaille dans R2 muni de la norme euclidienne k.k. On consid`ere les ensembles suivants :
A = {(x, y)∈R2 |0<|x−1|<1}, B = {(x, y)∈R2 | |x|+|y| ≤1},
C = {(x, y)∈R2 |cosx6= siny} ∩ {(x, y)∈R2 | k(x, y)−(2,0)k<2}, D = {(x, y)∈R2 |x∈Q, y /∈Q} ∩ {(x, y)∈R2| k(x, y)−(2,0)k<2} (1) Repr´esenter graphiquement les ensembles A, B, C dans le plan.
(2) D´eterminer si les ensemblesA, B, C, Dsont ouverts, ferm´es ; d´eterminer leur int´erieur, adh´erence et fronti`ere.
(3) Parmi ces ensembles, lesquels sont compacts ?
Exercice 2. Soit Aune partie non vide deRn. On d´efinit le diam`etre deA par : diam(A) = sup{kx−yk, x, y∈A}.
1. a) Montrer que si Aest born´ee, alorsA,˚ A¯et la fronti`ere Fr(A) le sont aussi.
b) On suppose que A˚non vide. Comparer les diam`etres deA,A˚et A.¯ 2. Nous montrons maintenant que diam(Fr(A)) = diam(A).
a) Montrer que diam(Fr(A))≤diam(A).
b) Soitx∈Aet u∈Rn\ {0}. On consid`ere l’ensemble X={t≥0|x+tu∈A}.
Montrer queX admet une borne sup´erieure dansR.
c) En d´eduire que toute demi-droite issue d’un point xde Acoupe Fr(A).
d) Conclure quediam(Fr(A)) = diam(A).
Exercice 3 (Ensemble de Cantor). On d´efinit dans Rune suite de partiesC0 ⊃C1⊃C2. . . de la mani`ere suivante. On pose C0 = [0,1]. On d´efinit par r´ecurrence Cn+1 `a partir deCn en coupant chaque intervalle deCn en trois et en enlevant le tiers ouvert du milieu. AinsiC1 =C0\]1/3,2/3[=
[0,1/3]∪[2/3,1],C2= [0,1/9]∪[2/9,3/9]∪[6/9,7/9]∪[8/9,1], etc. On appelle ensemble de Cantor C=T
n≥0Cn.
1. DessinerC0,C1,C2,C3.
2. Montrer queC est un compact non vide.
3. Montrer queCest d’int´erieur vide. (on pourra ´etudier la longueur desCn, c’est-`a-dire la somme des longueurs des intervalles constituantCn)
4. On rappelle qu’un pointxd’une partieA⊂RN estisol´e s’il existe >0tel queB(x, )∩A={x}. Montrer qu’aucun point du Cantor n’est isol´e. (on pourra montrer que les bords des intervalles desCn sont dans C, et utiliser ces points. ).
DM 1, A rendre semaine 41 2014-2015
