PSI* — 2019/2020 — Corrigé partiel du T.D. 1 Page 1
16. SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie etGun sous-groupe de cardinalndeGL(E). Établir : dim
g∈G
Ker (g−IdE) = 1 ng∈G
Trg (on pourra utiliser p= 1
ng∈G
g).
Solution : vu le nom proposé, je soupçonne que pest un projecteur ! Vérifions cela.
Dans un premier temps, je remarque que, pour hfixé dansG, j’aih◦p=p◦h=p.
En effet, par distributivité dansL(E),
h◦p= 1 ng∈G
h◦g
et l’application g →h◦g est une bijection de Gdans lui-même (de bijection réciproque g′ →h−1◦g′ puisqueGest un groupe). Il s’agit donc d’une réindexation :
h◦p= 1 ng′∈G
g′ =p.
De même pour p◦h. Je peux alors calculer p◦p:
p◦p=p◦ 1 ng∈G
g = 1 ng∈G
p◦g= 1 ng∈G
g en appliquant le résultat précédent àg (c’était pour touthdeG!).
Ainsi,p est un endomorphisme deE etp◦p=p:
p est un projecteur deE.
Or le rang d’un projecteur est égal à sa trace.
Par conséquentrgp= Trp= 1 ng∈G
Trg par linéarité de la trace.
Il suffit donc pour conclure de montrer que Imp=
g∈G
Ker (g−IdE).
Or j’ai vu ci-dessus que, pour g fixé dansG,g◦p=p, soit(g−IdE)◦p= 0, c’est-à-dire que Imp⊂Ker (g−IdE),
cela pour toutg deG, donc
Imp⊂
g∈G
Ker (g−IdE). Et l’autre inclusion est banale : si un vecteur x deE est dans
g∈G
Ker (g−IdE), il est invariant par tout élémentg deG, d’où
p(x) = 1 ng∈G
g(x) = 1
n.n.x=x
puisqueG est de cardinaln! Ainsi x est invariant parp, donc élément deImp. J’ai donc bien Imp=
g∈G
Ker (g−IdE) d’où rgp= dim
g∈G
Ker (g−IdE).
En conclusion
dim
g∈G
Ker (g−IdE) = 1 ng∈G
Trg.
